domingo, 17 de junio de 2007

ARITMÉTICA DE LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS. -Mediciones VII-

CIFRAS SIGNIFICATIVAS MEDICIONES VII —Anexo—

ARITMÉTICA DE LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Cuando se tienen efectuar operaciones matemáticas con números producto de unas mediciones, es un error frecuente colocar más cifras de las necesarias. Este descuido es el responsable de que algunos resultados de las mediciones sean falsos y que den una impresión de exactitud.

La aritmética con cifras significativa o números aproximados es diferente a la aritmética con números exactos o normales desde el punto de vista de resultados.

Es fácil de entender, que el hecho de efectuar operaciones matemáticas no es posible mejorar la exactitud y precisión de los resultados, ya que de partida se trabaja con números aproximados, por lo tanto el resultado es también aproximado.

Por ejemplo, si experimentalmente queremos determinar la velocidad de un objeto por medio de una medición indirecta, para ello empleamos la fórmula que establece la relación entre el desplazamiento y el tiempo. Supongamos que la longitud que va a recorrer el cuerpo mide 2,0 metros y que el tiempo que emplea este cuerpo en recorrer dicha longitud es de 3,0 segundos; de acuerdo al resultado de la ecuación obtendríamos que la velocidad del objeto es de 0,66666666666… m/s. Semejante resultado matemáticamente está bien, pero desde el punto de vista de medición se está indicando una precisión o exactitud irreales e inalcanzables.

Cuando se efectúan cálculos a partir de cifras significativas los resultados deben reportarse con el número de cifras significativas adecuadas, las cuales van a depender del tipo de operación matemática realizada.

Las operaciones que contemplan sumas y/o restas, el resultado posee solamente el número de cifras significativas que correspondan a la última cifra significativa común entre los números.

(213,1+2,5+2)=218
(0,001+1,0002)=1,001

Cuando se efectúan cálculos con multiplicación y/o división, el número de cifras significativas del resultado de la operación es igual al número de cifras significativas que posea el número (valor) con el menor número de cifras significativas.

(222x2,2)=490
(24÷3,145)=7,6

Para las potencias, el número de cifras significativas lo establece el número de cifras significativas contenidas en la base. Las cifras excedentes se substituyen por ceros.

(2,5^2)=6,3
(2,5^12)=60000
(888^0,1)=197

Al operar con las funciones trascendentes, como las funciones trigonométricas y las logarítmicas, el resultado se escribe con el mismo número de cifras significativas que tenga el argumento.

Cuando se efectúa una serie de cálculos que combinan diferentes funciones aritméticas, las operaciones matemáticas se realizan con todos los dígitos que aparecen y luego se redondea el resultado al número de cifras significativa que posea el número con el menor número de cifras significativas.

(34,6-15)x3,0124=59
222x2,5÷0,0001+20=6E6
(201,02x2,1+28)÷5=90

………

sábado, 9 de junio de 2007

REDONDEO -Cifras significativas-

REDONDEO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

MEDICIONES VII. —Anexo—

Al trabajar con números aproximados y particularmente cuando se realizan operaciones matemáticas con los mismos, es necesario verificar que los resultados obtenidos no posean más exactitud que la lograda con las mediciones, exactitud que queda definida por la precisión del o de los instrumentos de medición empleados.

Para reducir el número de cifras significativas se recurre a la técnica del redondeo.

Existen varios procedimientos para el redondeo, siendo el más popular el redondeo simple que se enseña en las escuelas. No obstante el método de redondeo que se aplica a los números que resultan de operaciones matemáticas es el denominado redondeo al número par o el redondeo estadístico.

Este método es muy similar al popular pero con una variante que disminuye el error acumulado cuando se efectúan cálculos sucesivos.

Para efectuar el redondeo por el método del número par se deben seguir las reglas siguientes:

· Si los primeros dos dígitos a descartarse son menores de 50, el dígito anterior no cambia.

2,249 redondeado a dos cifras significativas es: 2,2

· Si los primeros dos dígitos a descartarse son mayores de 50, se le suma 1 al número anterior.

2,251 redondeado a dos cifras significativas es: 2,3

· Si los primeros dos dígitos a descartarse son 50, se le suma 1 al número anterior si es impar y no se cambia si es par. —Variante—

2,250 redondeado a dos cifras significativas es: 2,2
2,150 redondeado a dos cifras significativas es: 2,2

………… continua en la entrega siguiente.

domingo, 3 de junio de 2007

CIFRAS SIGNIFICATIVAS -Mediciones V-

¿3,14 = 3,140...?

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

MEDICIONES V —Anexo—

La siguiente entrega es un anexo para las publicaciones bajo la etiquetas NOTAS TÉCNICAS sobre el tema de las mediciones. La finalidad es la de aclarar pequeñas dudas que se presentan a la hora de reportar los resultados de las mediciones. En las entregas anteriores se mencionaron las cifras significativas y el redondeo.

La exactitud de los datos obtenidos en una medición depende tanto de los instrumentos de medida como de la habilidad del perito que la efectúo. Todos los instrumentos de medición tienen un límite en su poder de resolución, entonces es válido pensar, que los resultados logrados en el acto de medir son meras aproximaciones de la realidad y que es imposible obtener una exactitud de total certeza, conseguir milésimas por no decir millonésimas es ya de por sí una tarea casi imposible.

El manejo correcto de la información recabada (resultados) de las mediciones se consigue a partir del uso de las cifras significativas, y de allí la importancia de entender el concepto de las mismas al igual que manejar con propiedad las reglas del redondeo.

Para facilitar la comprensión de que son las cifras significativas tenemos que entender que existe dos clases de números: los números exactos y los números que resultan de una medición o números aproximados.

Los números exactos son los que se obtienen al contar o los que están perfectamente definidos y aceptados como válidos, ese es el caso de las conversiones de unidades. Por ejemplo, se dice que en 1 pulgada hay 25,4 mm exactos sin ninguna duda. De igual manera, el número de días en un año está perfectamente definido y sin lugar a dudas.

El sentido de la exactitud se empieza a perder cuando se manejan números irracionales y más aún cuando se efectúan mediciones.

Los números derivados de las mediciones nunca son exactos ya que en el acto de medir siempre hay una estimación y en toda estimación hay una incertidumbre, lo que quiere decir que cuando medimos, sobre el resultado conseguido no hay certeza absoluta de su valor. La incertidumbre en las mediciones proviene del instrumento de medición y de los “errores” humanos que siempre estarán presentes.

El resultado de una medición debe reportarse con el rango de incertidumbre con el cual se midió, sin embargo, es frecuente encontrarse con valores reportados en documentos técnicos sin su incertidumbre asociada. ¿Cómo interpretar estas mediciones?.

Para estos casos, en donde no está indicada la incertidumbre, rige una convención la cual dicta que las cantidades se expresan estableciendo única y exclusivamente sus cifras significativas.

Las cifras significativas son todos los dígitos que se conocen con certeza más un dígito que es incierto.

Por ejemplo, si medimos una pieza con una regla graduada en centímetros y obtenemos el valor de 82,3 cm, por convención, se está indicando que la medición es conocida hasta la décima del centímetro. Lo que implica que tenemos plena certeza sobre el valor de 82 pero no sobre el número 3 porque este último está afectado por la incertidumbre y la estimación de la medición.

Lo que sí podemos afirmar contundentemente, es que el valor obtenido está más cerca del 82 que del 83 o que del 81, no sabemos si el resultado de la medición fue 82,26 cm o 82,34 cm, ya que no se reportan las centésimas. Pero si podemos estar completamente seguros que el valor de la medición está dentro del rango 82,25 cm y 82,35cm, lo que implica que hay una incertidumbre sobre las centésimas, obteniéndose la incertidumbre total de 0,1 cm.

Se dice que el número 82,3 posee tres (3) cifras significativas.

Si ahora medimos la misma pieza pero con una regla con divisiones de 1 mm y la medición nos arroja un valor de 82,30cm, entonces en esta nueva lectura tenemos cuatro (4) cifras significativas. A diferencia del caso anterior, poseemos plena certeza sobre el valor 82,3 pero no sobre el último dígito (0), ya que esta es la cifra menos significativa y está afectada por la estimación e incertidumbre del instrumento.

Aplicando el mismo razonamiento anterior, en esta nueva medición estamos afirmando que conocemos el valor de las centésimas, lo que sitúa a la incertidumbre en las milésimas. Podemos afirmar que el valor de 82,30 cm está dentro del intervalo 82,295 cm y 82,305 cm, lo que implica una incertidumbre total de 0,01 cm.

Se dice que el número 82,30 posee cuatro (4) cifras significativas.

Los resultados de ambas mediciones, desde el punto de vista numérico o matemático son iguales pero desde el punto de vista de medición no, se concluye que:

82,3 NO ES IGUAL A 82,30

De aquí que el número de cifras significativas definen la precisión de la medición.

Si la medición de 82,3 cm la pasamos a milímetros, micras, metros y kilómetros obtenemos los valores siguientes:

82,3 = 823 = 8230 = 0,823 = 0,000823

El bloque de valores anterior, reporta la misma información con la misma precisión, se dice entonces que todos los valores mostrados poseen tres (3) cifras significativas.

Para establecer el número de cifras significativas de un resultado de una medición se deben cumplir con las reglas siguientes:

· El primer dígito diferente de cero y el último dígito diferente de cero de un número son cifras significativas.

El número 100001 los dígitos 1 (ambos) son significativos.
El número 987654 los dígitos 9 y 4 son significativos.

· El primer dígito a la izquierda de un número es el más significativo y el último dígito a la derecha de un número es el menos significativo.

· Los números que no contienen ceros, todos los dígitos que lo forman son significativos.

El número 21548 posee 5 cifras significativas.
El número 1,2458799921 posee 11 cifras significativas.

· Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.

El número 200,0005 posee 7 cifras significativas.
El número 1,002 posee 4 cifras significativas.

· Los ceros que están a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición de la coma decimal y no son significativos.

El número 0,01 posee 1 cifra significativa.
El número 0,123 posee 3 cifras significativas.

· Un número con dígitos a la derecha de la coma decimal, los ceros a la derecha del último número diferente de cero son significativos.

El número 0,0200 posee 3 cifras significativas
El número 123,1000 posee 7 cifras significativas.

· Un número sin decimales (sin la coma decimal), los ceros que están a la derecha del último dígito diferente de cero, pueden ser significativos o no. Para este caso particular el número de cifras significativas es ambiguo y para poder establecer el número correcto de cifras significativas se requiere de la información adicional acerca de cómo se llegó a ese número o valor de medición. Sí el número fue el resultado de un conteo, todos los dígitos son significativos, pero si el resultado es de una medición es posible que los ceros que están a la derecha del último dígito no sean significativos.

El número 25.000 (25000) posee un número de cifras significativas ambiguo.

Para evitar la ambigüedad, se recurre a la notación científica, expresándose únicamente las cifras significativas.

El número 2 x 10² (2 E 2) posee 1 cifra significativa.
El número 2,00 E 12 posee 3 cifras significativas.

Continua en la próxima entrega……