DEL TIEMPO

DEL TIEMPO.

Hora solar: 9:00 AM del dos de Septiembre del 2.009.

Hora solar: 9:00 AM del primero de Octubre del 2.009

Cuando tenemos la inusual experiencia de enfrentarnos a un reloj de Sol lo primero que hacemos es mirar la hora de nuestro reloj de pulsera y constatar que la hora entre los relojes no coincide lo que normalmente hace suponer que es el reloj del Sol el que está fallando y no el mecánico o el electrónico que llevamos en la muñeca por considerarlo más preciso y por ende mostrándonos la “hora verdadera” por lo que ¡algo debe andar mal en el cielo!

Para entender la causa de esta discrepancia debemos comprender al menos a grandes rasgos la compleja “mecánica” que hay detrás del tiempo y su medición.

La intención de este artículo es la de permitir de la manera más simple entender el fenómeno y su origen además de vislumbrar que detrás del tema para establecer la hora que indica nuestros relojes hay toda una filosofía bastante complicada que involucra algunos fenómenos astronómicos como la traslación de la tierra alrededor de órbita, la nutación del eje de rotación y la precesión del perihelio además de la posición geográfica del reloj de Sol con respecto al meridiano que se esté empleando como origen de las horas locales o hora civil.

La Tierra gira alrededor del Sol describiendo una orbita elíptica en el sentido antihorario visto desde el Polo Norte, de igual manera la Tierra gira alrededor de su eje también en el mismo sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, siempre mirando al Norte.

Siendo la Tierra nuestro marco referencial tenemos la sensación que es el Sol el que se desplaza en una orbita elíptica además de girar alrededor del eje del mundo exactamente con el mismo sentido anti horario como el resto de los astros, la figura 1 muestra el movimiento orbital con la flecha verde y el de rotación de la tierra con la flecha azul.

Figura 1

La posición del sol puede referirse a la línea P-AF o línea de los ápsides y el ángulo formado entre ésta y el Sol es la anomalía medido en sentido del desplazamiento del Sol. En vez de la anomalía se suele emplear el ángulo que forma el Sol con la línea de los equinoccios A-L o Aries-Libra que se genera en la intersección entre el plano de la eclíptica proyectada en la bóveda celeste y el plano ecuatorial celeste, denominándose longitud del Sol por ejemplo en el punto S1 al ángulo ATS1.

Cuando se compara el tiempo en que tarda en pasar dos veces por el meridiano el Sol y su posición con respecto a las estrellas se advierte que el Sol requiere de más tiempo en realizar la doble culminación que una estrella cualquiera, el fenómeno se debe a que el Sol es un astro muy próximo a la tierra y los cambios orbitales se reflejan con claridad por los efectos del paralaje, durante el transcurso de un día el Sol se ha desplazado sobre su órbita aparente pasando de S1 a S2 (figura 1) por lo que la Tierra T debe rotar un poco más sobre su eje en un ángulo a para que el Sol alcance nuevamente el meridiano del lugar de observación. Por su parte, las estrellas están tan alejadas que las consecuencias del recorrido orbital de la tierra son prácticamente imperceptibles.

A efectos de establecer la Hora Sideral, en vez de emplearse una estrella como referencia se establece cuando el Punto Vernal o Primer punto de Aries P pasa por el  meridiano, el aparente movimiento alrededor de la Tierra del punto vernal se aproxima al movimiento de las estrellas diferenciándose de este último por la presesión del equinoccio con respecto a las estrellas.

Siendo la rotación del mundo constante y arbitrariamente dividida en 24 horas se considera que el tiempo sideral es de 24 horas mientras que el tiempo Solar medio es de 24^h:3’:56,5554’’ horas siderales.

Nótese que se habla de tiempo Solar medio y no de tiempo Solar como tal y esta distinción viene al caso a causa de que la velocidad de traslación de la tierra alrededor del Sol no es constante aumentando o disminuyendo en la medida que se acerca a una de las ápsides.

Cuando la Tierra se encuentra en el perihelio, su velocidad de traslación es máxima con lo cual el desplazamiento aparente del Sol en la esfera celeste sobre la eclíptica se hace mayor y para culminar requiere de más tiempo que cuando se encuentra en el afelio. Lo que ocurre en definitiva es que el tiempo Solar Verdadero varía de día en día por lo que el Tiempo Solar Medio es el valor tomado de muchas mediciones realizadas durante un año del paso del Sol verdadero por el meridiano.

Figura 2

Este Tiempo Solar Medio posee su origen en un Sol Ficticio que recorre la órbita elíptica y por ende a la eclíptica (proyección en la esfera celeste de la órbita elíptica) a velocidad constante variando uniformemente la longitud de este Sol Ficticio que denominaremos Sol Elíptico Medio. Este Sol Elíptico Medio parte del perigeo coincidiendo con el Sol verdadero, pero como el Sol verdadero (SV) parte a mayor velocidad que el Sol Elíptico Medio (SEM) se adelantará (ver figura 2) para luego llegar con él al apogeo al cabo de medio año. Durante este intervalo el Sol verdadero estará por delante del Sol ficticio llegando a estar separados un par de grados como máximo en algún punto del recorrido entre el perigeo y al apogeo. Del apogeo en adelante será el Sol ficticio el que va adelante y el Sol verdadero persiguiéndolo para encontrarse ambos nuevamente en el perigeo. Ambos soles coinciden dos veces al año alrededor del 3 de enero y 4 de julio.

La diferencia de longitud entre el Sol Verdadero y el Sol Elíptico Medio (ángulo a, fig. 2) se conoce como ecuación del centro.

La proyección de la orbita terrestre sobre la bóveda celeste traza un círculo máximo que se denomina eclíptica y es sobre esta proyección por donde transita el Sol verdadero y el Sol Elíptico Medio durante su recorrido anual. La eclíptica está inclinada con respecto al ecuador celeste en 23° 26′ 14″. Si el desplazamiento del Sol Elíptico Medio tuviera lugar sobre el ecuador celeste este podría muy bien servir como referencia para establecer las horas de nuestros relojes pero debido a la oblicuidad de la eclíptica se recurre a un segundo artificio. Abatiendo al Sol Elíptico Medio sobre el ecuador celeste se crea al Sol Medio el cual posee la misma velocidad constante que el Sol Elíptico Medio y es este Sol Medio en que regulará finalmente nuestros relojes.

Figura 3

El ángulo barrido por ambos soles son iguales en tiempos iguales pero en planos diferentes, si proyectamos desde el polo la posición del Sol Elíptico Medio sobre el ecuador celeste como se muestra en la figura 3 tendremos su posición B con respecto al punto vernal P,  el ángulo A-T-B medido sobre el plano del ecuador celeste se denomina ascensión recta y es válido para cualquier astro.

Debido a la inclinación de la eclíptica, la ascensión recta del Sol Elíptico Medio no avanza angularmente a velocidad constante.

De la figura 3 se puede deducir que la ascensión recta del Sol Medio Elíptico (ángulo A-T-B) se iguala a la longitud del mismo (ángulo A-T-SEM sobre la eclíptica) en la línea de los equinoccios A-L y por ende con el Sol Medio, igualándose nuevamente en su perpendicular C-D o línea de los trópicos. En cualquier otro punto del recorrido a lo largo del año, el Sol Medio se adelanta o se atrasa con respecto a la ascensión recta al Sol Elíptico Medio.

Según esto, en primavera (trayecto A-C) y el otoño (trayecto L-D) el Sol Medio irá por delante del Sol Elíptico Medio y en verano (D-A) y en invierno (C-L) irá detrás del Elíptico.

Lo anterior puede verificarse recurriendo a la trigonometría esférica ya que el triángulo A-SEM-B es uno esférico formado por la intersección de tres círculos máximos a saber, el círculo del ecuador, el círculo de la eclíptica y el círculo que pasa por los polos.

Figura 4

La figura 4 muestra el detalle del triángulo esférico A-SEM-B los lados del triángulo se mide en grados planos del ángulo triedro T-A-SEM-B, el lado AR que se corresponde con la ascensión recta del Sol Elíptico Medio queda determinado por al ángulo A-T-B en el plano ecuatorial, el lado L por el ángulo A-T-SEM sobre el plano de la eclíptica y por último la declinación del Sol Elíptico D por el ángulo B-T-SEM sobre el plano del circulo máximo polar. El triángulo esférico en cuestión es rectángulo debido al ángulo diedro en B es de 90° y que se forma entre el plano ecuatorial y el plano del círculo máximo polar en la línea B-T.

Para esta demostración recurriremos a dos de las fórmulas fundamentales de los triángulos esféricos rectángulos.

Empleando ambas fórmulas se puede graficar la diferencia entre la longitud L y la ascensión recta AR con respecto a la longitud L. El resultado es la gráfica siguiente:

La gráfica permite visualizar rápidamente que la ascensión recta AR se iguala a la longitud L cuatro veces al año en los puntos de 0° y 180° que son los equinoccios igualándose nuevamente a los 90° y 270° que se corresponde con los solsticios. Durante el resto del año no lo son, lo que confirma que aunque el Sol Elíptico Medio se desplace a velocidad constante sobre la eclíptica, su ascensión recta lo hace a velocidad variable. Esta es la razón del porqué el Sol Elíptico Medio no puede ser empleado para establecer las horas y se recure al Sol Medio ya mencionado que recorre al ecuador celeste a velocidad constante.

El siguiente paso es comparar el Sol verdadero contra el Sol Medio y observar sus particularidades, pero antes analicemos un poco la ecuación del centro elemento importantísimo para determinar parte de la diferencia entre la hora del reloj de pulsera y el reloj de Sol.

Para poder visualizar la ecuación del centro debemos apoyarnos en la ecuación trascendental de Kepler quien la formuló en el año de 1650 y permite encontrar la posición de un astro que gira alrededor del Sol a partir de un movimiento uniforme. De hecho, la ecuación de Kepler es una consecuencia de su empírica segunda Ley cuya demostración matemática va más allá de las intenciones de este pequeño artículo, tomando la expresión:

El problema consiste en encontrar el ángulo E o anomalía excéntrica a partir de los valores conocidos de 𝑀 y 𝑒, siendo 𝑀 la anomalía media que es el ángulo recorrido por el planeta a partir de una posición conocida si el mismo se moviera con velocidad circular constante y 𝑒 la excentricidad de la elipse (órbita). A partir de la anomalía excéntrica se deduce la anomalía verdadera 𝑉 del planeta en su órbita.

La ecuación tiene muchas soluciones y sigue estudiándose desde los tiempos de Newton de manera analítica por astrónomos y matemáticos encontrándose más de 120 soluciones al problema.

La figura 5 nos permite visualizar fácilmente la relación que existe entre los parámetros de la ecuación de Kepler.

Figura 5

Sobre un circulo circunscrito a la eclíptica se coloca el punto A de manera que la línea A-R perpendicular al semieje mayor de la elipse pase por el planeta P, el ángulo PE-C-A es la denominada anomalía excéntrica 𝐸. El ángulo PE-S-P es la anomalía verdadera  𝑉 del planeta y por consiguiente su posición real en la órbita, y el ángulo PE-C-B es la anomalía media 𝑀. De la figura 5 y apoyándose en la segunda ley de Kepler es que se deduce la famosa ecuación que está identificada como una de las más relevantes de la astronomía ya que ha permitido no solo predecir la posición de los planetas en el firmamento sino que es base fundamental para las orbitas de naves tripuladas o no alrededor de la Tierra.

Una de las soluciones más simples para esta ecuación se basa en la iteración directa de la misma y es el procedimiento empleado para desarrollar la gráfica que muestra el comportamiento de la ecuación del centro en este escrito.

La anomalía media mide el desplazamiento angular que tendría un planeta desde el perihelio asumiendo un desplazamiento constante del mismo. Desde nuestro marco de referencia este planeta a velocidad constante es el Sol Eclíptico Medio.

Combinado la ecuación de la fuerza centrípeta, la fórmula de la atracción universal de la gravedad y la del movimiento angular uniforme se obtiene:

Donde 𝑤 es la velocidad angular del planeta, 𝐺  la constante de gravitación universal, 𝑀𝑠 la masa del Sol y 𝑟  la distancia del Sol al planeta. Esta ecuación contiene de manera implícita la tercera Ley de Kepler que postula que el cuadrado del periodo de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

Si se sustituye la distancia 𝑟 por el semieje major de la elipse 𝑎 se obtiene el valor medio 𝑛 de la velocidad angular del planeta. Conociendo el valor de 𝑛 se conoce la anomalía media 𝑀 del planeta a partir de un tiempo 𝑡 transcurrido desde que pasó por el perihelio.

 

Resolviendo la fórmula 4 la velocidad angular de la tierra es 1,991x10^-7 radianes/segundos que llevados a radianes días son 0,0172 rd/día. En grados 𝑛 = 0,9856°/d. Este es precisamente el recorrido diario que hace el Sol Eclíptico Medio sobre la eclíptica.

El valor de 𝑛 también se consigue por medio de:

Donde 𝑇 es el período del planeta, que para la Tierra es de 365,256 días.

La anomalía excéntrica y la anomalía verdadera quedan relacionadas por:

Iterando la ecuación (3) de Kepler para cada día del año se puede elaborar la gráfica siguiente que permite visualizar el comportamiento de la ecuación del centro a lo largo del año.

 

Se observa con claridad que la ecuación del centro se anula un par de veces, en el perigeo que se considera el inicio del ciclo y en el apogeo a los 180°. También se puede apreciar que alrededor de los 90° y 270° la ecuación del centro alcanza su máxima amplitud separándose el Sol real del Sol Eclíptico Medio en ±1°55’20’’. La exactitud de los resultados depende de las cifras significativas de los parámetros empleados para los cálculos como por ejemplo la masa del Sol.

Aclarado este punto sobre la ecuación del centro analicemos el comportamiento de la reducción al ecuador que es el segundo componente responsable de la diferencia entre el reloj de pulsera y el reloj de Sol.

Se define como reducción al ecuador la diferencia entre la longitud 𝐿 del Sol verdadero con respecto a su ascensión recta AR.

La figura 6 representa al sol verdadero sobre la eclíptica y su ascensión recta AR, adicionalmente se coloca el Sol real abatido sobre el ecuador celeste para poder restar de manera directa la longitud 𝐿 y la ascensión recta.

Figura 6

El ángulo A-T-SV sobre el plano de la eclíptica es la longitud del Sol verdadero (SV), el ángulo formado por los puntos A-T-SVA sobre el plano del ecuador celeste es la longitud L del  Sol verdadero abatido (SVA) que es numéricamente idéntica a la longitud del sol verdadero. El ángulo A-T-B es la ascensión recta AR del Sol verdadero.

La ventaja del Sol abatido es que se mueve a la misma velocidad del Sol verdadero por lo que refleja la longitud del mismo sobre el plano del ecuador lo que permite hacer las comparaciones.

Empleando nuevamente las ecuaciones trigonométricas 1 y 2 podemos hallar la diferencia entre la longitud del Sol verdadero y su ascensión recta que en definitiva es la reducción al ecuador que estamos evaluando.

Al graficar los resultados:

La gráfica muestra que la reducción al centro se anula cuatro veces al año lo que nos indica que el Sol verdadero iguala su ascensión recta en los puntos de los equinoccios y en los solsticios. Acá conviene decir, que los resultados de la hoja de cálculos hay que manejarlos con cuidado ya que se ha demostrado en muchas oportunidades que se presentan desviaciones en los mismos que incluso pueden llegar a 3 dígitos. Por ejemplo, cuando el resultado debería ser 180° la hoja indica 179,999°. La desviación máxima es de 2°27’54’’ para el ángulo de 46° según la hoja de cálculos.

ECUACIÓN DEL TIEMPO.

En un determinado momento cualquiera al comparar el tiempo Solar Medio que es el regulado por el Sol Medio y el tiempo Solar verdadero dado por el Sol verdadero se verifica que existe una diferencia entre ambos, esta diferencia se denomina ecuación del tiempo y se define como la corrección que hay que aplicarle al tiempo medio para obtener el tiempo real, siendo este tiempo real el indicado por el reloj de Sol.

Hora solar = Hora legal - ecuación del tiempo.

La ecuación del tiempo es la suma de las dos correcciones anteriores, es decir de la ecuación del centro más la reducción al ecuador, la suma no puede realizarse de manera simple ya que el origen de cada corrección es diferente. La ecuación del centro tiene su origen el perihelio (perigeo visto desde la Tierra) mientras que la reducción al ecuador lo tiene en el nodo ascendente que es el punto de Aries, lo que implica que la diferencia angular entre el perihelio y el punto vernal es de aproximadamente 283°, además el desplazamiento del Sol lo hace retrógradamente por lo que la gráfica de la ecuación del centro arranca a los 360º y en cuenta regresiva. Es decir, el cero para la reducción de centro está a los 77º al mismo tiempo que los 360º para la reducción del ecuador. 

Realizando los ajustes requeridos el resultado está plasmado en la interesante grafica siguiente:

La gráfica nos indica que cuatro veces al año la ecuación del tiempo se anula lo que implica que en esos días en particular la hora Solar coincidirá con la hora del reloj de pulsera, además nos muestra cuatro picos de máximos y mínimos de la ecuación del tiempo por lo que para esos días existirá una marcada diferencia entra ambos relojes, llegando a un máximo de atraso de 16’36’’ aproximadamente a comienzos de noviembre y un adelanto de máximo de 14’38’’ a mediados de febrero.

Como los dos puntos de referencia de las correcciones son variable en el tiempo debido a la precesión y a la nutación, anualmente se publican las tablas con los valores de la ecuación del tiempo a lo largo de todos los días del año en curso ya que los valores pueden variar de un año a otro.

Aunque disponemos ahora de los valores de corrección día a día para “ajustar” al reloj de Sol sigue existiendo una discrepancia que puede ser incluso mayor a la máxima desviación registrada con la ecuación del tiempo. Esta desviación que se superpone a la anterior tiene su origen por la diferencia geográfica del meridiano del lugar donde se encuentre el reloj de Sol y el meridiano al cual se refiere la hora local. En definitiva la hora verdadera local es la que suministra el reloj de Sol mientras que la hora legal es una hora ficticia constante ideada por razones comerciales y de comunicación entre lugares para establecer un horario idéntico para muchas zonas como lo serían los estados de un país.

Para el momento de las fotografías que abren el artículo, la ecuación del tiempo toma el valor de -3” para el 2 de septiembre y de -10’4” para el 1 de octubre por otro lado, para entonces en Venezuela se establecía la hora en el huso -4:30 que le corresponde la longitud geográfica de -67°30’ y el meridiano del lugar donde se encontraba el reloj de Sol -62°27’ en la ciudad de Puerto Ordaz.

La diferencia entre el huso horario y la longitud en Puerto Ordaz es de 5°3’ que llevados a horas son 20’12”, esto de entrada muestra que el reloj de Sol estará un poco más de 20 minutos de adelanto con respecto al reloj que fija la hora legal. Ha este adelanto se le agrega la ecuación del tiempo que para el primero de octubre del 2.009 era de 10’4” dando una desviación total de 30’16” que son los 30 minutos que logramos apreciar de diferencia en la fotografía que abre el artículo.

A modo de aclaratoria, es posible disponer de relojes de Sol que estén compensados tanto en la longitud del lugar como en la ecuación del tipo. Este tipo de relojes eliminan el problema de la comparación. En https://sudandolagotagorda.blogspot.com/2013/03/reloj-ecuatorial-de-nomon-movil_23.html#comment-form está mostrado un modelo de este tipo de reloj compensado.