DEL TIEMPO.
Hora solar: 9:00 AM del dos de Septiembre del 2.009.
Hora solar: 9:00 AM del primero
de Octubre del 2.009
Cuando tenemos la inusual experiencia
de enfrentarnos a un reloj de Sol lo primero que hacemos es mirar la hora de
nuestro reloj de pulsera y constatar que la hora entre los relojes no coincide
lo que normalmente hace suponer que es el reloj del Sol el que está fallando y
no el mecánico o el electrónico que llevamos en la muñeca por considerarlo más
preciso y por ende mostrándonos la “hora verdadera” por lo que ¡algo debe andar
mal en el cielo!
Para entender la causa de esta
discrepancia debemos comprender al menos a grandes rasgos la compleja
“mecánica” que hay detrás del tiempo y su medición.
La intención de este artículo es
la de permitir de la manera más simple entender el fenómeno y su origen además
de vislumbrar que detrás del tema para establecer la hora que indica nuestros
relojes hay toda una filosofía
bastante complicada que involucra algunos fenómenos astronómicos como la
traslación de la tierra alrededor de órbita, la nutación del eje de rotación y
la precesión del perihelio además de la posición geográfica del reloj de Sol
con respecto al meridiano que se esté empleando como origen de las horas
locales o hora civil.
La Tierra gira alrededor del Sol
describiendo una orbita elíptica en el sentido antihorario visto desde el Polo
Norte, de igual manera la Tierra gira alrededor de su eje también en el mismo
sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, siempre mirando al
Norte.
Siendo la Tierra nuestro marco
referencial tenemos la sensación que es el Sol el que se desplaza en una orbita
elíptica además de girar alrededor del eje del mundo exactamente con el mismo
sentido anti horario como el resto de los astros, la figura 1 muestra el
movimiento orbital con la flecha verde y el de rotación de la tierra con la
flecha azul.
Figura 1
La posición del sol puede
referirse a la línea P-AF o línea de los ápsides y el
ángulo formado entre ésta y el Sol es la anomalía medido en sentido del
desplazamiento del Sol. En vez de la anomalía se suele emplear el ángulo que
forma el Sol con la línea de los equinoccios A-L o Aries-Libra que se
genera en la intersección entre el plano de la eclíptica proyectada en la
bóveda celeste y el plano ecuatorial celeste, denominándose longitud del Sol
por ejemplo en el punto S1 al ángulo ATS1.
Cuando se compara el tiempo en
que tarda en pasar dos veces por el meridiano el Sol y su posición con respecto
a las estrellas se advierte que el Sol requiere de más tiempo en realizar la
doble culminación que una estrella cualquiera, el fenómeno se debe a que el Sol
es un astro muy próximo a la tierra y los cambios orbitales se reflejan con
claridad por los efectos del paralaje, durante el transcurso de un día el Sol
se ha desplazado sobre su órbita aparente pasando de S1 a S2 (figura 1) por lo que la
Tierra T debe rotar un poco más sobre su eje en un ángulo a
para que el Sol alcance nuevamente el meridiano del lugar de observación. Por
su parte, las estrellas están tan alejadas que las consecuencias del recorrido
orbital de la tierra son prácticamente imperceptibles.
A efectos de establecer la Hora Sideral,
en vez de emplearse una estrella como referencia se establece cuando el Punto Vernal
o Primer punto de Aries P pasa por el meridiano, el aparente movimiento alrededor de
la Tierra del punto vernal se aproxima al movimiento de las estrellas diferenciándose de este último por la presesión del equinoccio con respecto a
las estrellas.
Siendo la rotación del mundo constante
y arbitrariamente dividida en 24 horas se considera que el tiempo sideral es de
24 horas mientras que el tiempo Solar medio es de 24h:3’:56,5554’’
horas siderales.
Nótese que se habla de tiempo
Solar medio y no de tiempo Solar como tal y esta distinción viene al caso a causa
de que la velocidad de traslación de la tierra alrededor del Sol no es
constante aumentando o disminuyendo en la medida que se acerca a una de las
ápsides.
Cuando la Tierra se encuentra en
el perihelio, su velocidad de traslación es máxima con lo cual el desplazamiento
aparente del Sol en la esfera celeste sobre la eclíptica se hace mayor y para
culminar requiere de más tiempo que cuando se encuentra en el afelio. Lo que
ocurre en definitiva es que el tiempo Solar Verdadero varía de día en día por
lo que el Tiempo Solar Medio es el valor tomado de muchas mediciones realizadas
durante un año del paso del Sol verdadero por el meridiano.
Figura 2
Este Tiempo Solar Medio posee su
origen en un Sol Ficticio que recorre la órbita elíptica y por ende a la eclíptica
(proyección en la esfera celeste de la órbita elíptica) a velocidad constante
variando uniformemente la longitud de este Sol Ficticio que denominaremos Sol Elíptico
Medio. Este Sol Elíptico Medio parte del perigeo coincidiendo con el Sol
verdadero, pero como el Sol verdadero (SV) parte a mayor velocidad que el
Sol Elíptico Medio (SEM) se adelantará (ver figura 2) para luego llegar con él al
apogeo al cabo de medio año. Durante este intervalo el Sol verdadero estará por
delante del Sol ficticio llegando a estar separados un par de grados como
máximo en algún punto del recorrido entre el perigeo y al apogeo. Del apogeo en
adelante será el Sol ficticio el que va adelante y el Sol verdadero
persiguiéndolo para encontrarse ambos nuevamente en el perigeo. Ambos soles
coinciden dos veces al año alrededor del 3 de enero y 4 de julio.
La diferencia de longitud entre
el Sol Verdadero y el Sol Elíptico Medio (ángulo a, fig. 2) se conoce como ecuación del centro.
La proyección de la orbita
terrestre sobre la bóveda celeste traza un círculo máximo que se denomina
eclíptica y es sobre esta proyección por donde transita el Sol verdadero y el
Sol Elíptico Medio durante su recorrido anual. La eclíptica está inclinada con
respecto al ecuador celeste en 23° 26′ 14″. Si el desplazamiento del Sol Elíptico
Medio tuviera lugar sobre el ecuador celeste este podría muy bien servir como
referencia para establecer las horas de nuestros relojes pero debido a la
oblicuidad de la eclíptica se recurre a un segundo artificio. Abatiendo al Sol Elíptico
Medio sobre el ecuador celeste se crea al Sol Medio el cual posee la misma
velocidad constante que el Sol Elíptico Medio y es este Sol Medio en que
regulará finalmente nuestros relojes.
Figura 3
El ángulo barrido por ambos soles
son iguales en tiempos iguales pero en planos diferentes, si proyectamos desde
el polo la posición del Sol Elíptico Medio sobre el ecuador celeste como se
muestra en la figura 3 tendremos su posición B con respecto al punto
vernal P,
el ángulo A-T-B medido sobre el
plano del ecuador celeste se denomina ascensión recta y es válido para
cualquier astro.
Debido a la inclinación de la
eclíptica, la ascensión recta del Sol Elíptico Medio no avanza angularmente a
velocidad constante.
De la figura 3 se puede deducir
que la ascensión recta del Sol Medio Elíptico (ángulo A-T-B) se iguala a la
longitud del mismo (ángulo A-T-SEM sobre la eclíptica) en la línea de los
equinoccios A-L y por ende con el Sol Medio, igualándose nuevamente en su
perpendicular C-D o línea de los trópicos. En cualquier otro punto del
recorrido a lo largo del año, el Sol Medio se adelanta o se atrasa con respecto
a la ascensión recta al Sol Elíptico Medio.
Según esto, en primavera
(trayecto A-C) y el otoño (trayecto L-D) el Sol Medio irá por delante del Sol Elíptico
Medio y en verano (D-A) y en invierno (C-L) irá detrás del Elíptico.
Lo anterior puede verificarse
recurriendo a la trigonometría esférica ya que el triángulo A-SEM-B
es uno esférico formado por la intersección de tres círculos máximos a saber,
el círculo del ecuador, el círculo de la eclíptica y el círculo que pasa por
los polos.
Figura 4
La figura 4 muestra el detalle
del triángulo esférico A-SEM-B los lados del triángulo se
mide en grados planos del ángulo triedro T-A-SEM-B,
el lado AR que se corresponde con la ascensión recta del Sol Elíptico
Medio queda determinado por al ángulo A-T-B
en el plano ecuatorial, el lado L por el ángulo A-T-SEM sobre el plano de
la eclíptica y por último la declinación del Sol Elíptico D por el ángulo B-T-SEM
sobre el plano del circulo máximo polar. El triángulo esférico en cuestión es
rectángulo debido al ángulo diedro en B es de 90° y que se forma entre el
plano ecuatorial y el plano del círculo máximo polar en la línea B-T.
Para esta demostración
recurriremos a dos de las fórmulas fundamentales de los triángulos esféricos rectángulos.
Empleando ambas fórmulas se puede
graficar la diferencia entre la longitud L y la ascensión recta AR
con respecto a la longitud L. El resultado es la gráfica
siguiente:
La gráfica permite visualizar
rápidamente que la ascensión recta AR se iguala a la longitud L
cuatro veces al año en los puntos de 0° y 180° que son los equinoccios igualándose
nuevamente a los 90° y 270° que se corresponde con los solsticios. Durante el
resto del año no lo son, lo que confirma que aunque el Sol Elíptico Medio se
desplace a velocidad constante sobre la eclíptica, su ascensión recta lo hace a
velocidad variable. Esta es la razón del porqué el Sol Elíptico Medio no puede
ser empleado para establecer las horas y se recure al Sol Medio ya mencionado
que recorre al ecuador celeste a velocidad constante.
El siguiente paso es comparar el
Sol verdadero contra el Sol Medio y observar sus particularidades, pero antes
analicemos un poco la ecuación del centro elemento
importantísimo para determinar parte de la diferencia entre la hora del reloj
de pulsera y el reloj de Sol.
Para poder visualizar la ecuación
del centro debemos apoyarnos en la ecuación trascendental de Kepler
quien la formuló en el año de 1650 y permite encontrar la posición de un astro
que gira alrededor del Sol a partir de un movimiento uniforme. De hecho, la
ecuación de Kepler es una consecuencia de su empírica segunda Ley cuya
demostración matemática va más allá de las intenciones de este pequeño
artículo, tomando la expresión:
El problema consiste en encontrar
el ángulo E o
anomalía excéntrica a partir de los valores conocidos de 𝑀 y
𝑒,
siendo 𝑀
la anomalía media que es el ángulo recorrido por el planeta a partir de una
posición conocida si el mismo se moviera con velocidad circular constante y 𝑒
la excentricidad de la elipse (órbita). A partir de la anomalía excéntrica se
deduce la anomalía verdadera 𝑉 del planeta en
su órbita.
La ecuación tiene muchas
soluciones y sigue estudiándose desde los tiempos de Newton de manera analítica
por astrónomos y matemáticos encontrándose más de 120 soluciones al problema.
La figura 5 nos permite
visualizar fácilmente la relación que existe entre los parámetros de la
ecuación de Kepler.
Figura 5
Sobre un circulo circunscrito a
la eclíptica se coloca el punto A de manera que la línea A-R
perpendicular al semieje mayor de la elipse pase por el planeta P,
el ángulo PE-C-A es la denominada anomalía excéntrica 𝐸.
El ángulo PE-S-P es la anomalía verdadera
𝑉
del planeta y por consiguiente su posición real en la órbita, y el ángulo PE-C-B
es la anomalía media 𝑀. De la figura 5
y apoyándose en la segunda ley de Kepler es que se deduce la famosa ecuación
que está identificada como una de las más relevantes de la astronomía ya que ha
permitido no solo predecir la posición de los planetas en el firmamento sino
que es base fundamental para las orbitas de naves tripuladas o no alrededor de
la Tierra.
Una de las soluciones más simples
para esta ecuación se basa en la iteración directa de la misma y es el
procedimiento empleado para desarrollar la gráfica que muestra el
comportamiento de la ecuación del centro en este escrito.
La anomalía media mide el
desplazamiento angular que tendría un planeta desde el perihelio asumiendo un
desplazamiento constante del mismo. Desde nuestro marco de referencia este
planeta a velocidad constante es el Sol Eclíptico Medio.
Combinado la ecuación de la
fuerza centrípeta, la fórmula de la atracción universal de la gravedad y la del
movimiento angular uniforme se obtiene:
Donde 𝑤 es
la velocidad angular del planeta, 𝐺 la constante de gravitación universal, 𝑀𝑠
la masa del Sol y 𝑟 la distancia del Sol al planeta. Esta
ecuación contiene de manera implícita la tercera Ley de Kepler que postula que
el cuadrado del periodo de un planeta es directamente proporcional al cubo de
su distancia media al Sol.
Si se sustituye la distancia
𝑟
por el semieje major de la elipse
𝑎
se obtiene el valor medio
𝑛 de la velocidad
angular del planeta. Conociendo el valor de
𝑛
se conoce la anomalía media
𝑀 del planeta
a partir de un tiempo
𝑡 transcurrido
desde que pasó por el perihelio.
Resolviendo la fórmula 4 la velocidad
angular de la tierra es 1,991x10-7 radianes/segundos que llevados a
radianes días son 0,0172 rd/día. En grados 𝑛 = 0,9856°/d. Este es precisamente el recorrido diario
que hace el Sol Eclíptico Medio sobre la eclíptica.
El valor de 𝑛
también se consigue por medio de:
Donde 𝑇
es el período del planeta, que para la Tierra es de 365,256 días.
La anomalía excéntrica y la
anomalía verdadera quedan relacionadas por:
Iterando la ecuación (3) de
Kepler para cada día del año se puede elaborar la gráfica siguiente que permite
visualizar el comportamiento de la ecuación del centro a lo largo del
año.
Se observa con claridad que la ecuación
del centro se anula un par de veces, en el perigeo que se considera el
inicio del ciclo y en el apogeo a los 180°. También se puede apreciar que alrededor
de los 90° y 270° la ecuación del centro alcanza su
máxima amplitud separándose el Sol real del Sol Eclíptico Medio en ±1°55’20’’. La exactitud de
los resultados depende de las cifras significativas de los parámetros empleados
para los cálculos como por ejemplo la masa del Sol.
Aclarado este punto sobre la ecuación
del centro analicemos el comportamiento de la reducción al ecuador que
es el segundo componente responsable de la diferencia entre el reloj de pulsera
y el reloj de Sol.
Se define como reducción
al ecuador la diferencia entre la longitud 𝐿
del Sol verdadero con respecto a su ascensión recta AR.
La figura 6 representa al sol
verdadero sobre la eclíptica y su ascensión recta AR, adicionalmente se
coloca el Sol real abatido sobre el ecuador celeste para poder restar de manera
directa la longitud 𝐿 y la ascensión
recta.
El ángulo A-T-SV sobre el plano de la eclíptica es la longitud del Sol
verdadero (SV), el ángulo formado por los puntos A-T-SVA sobre el plano del ecuador celeste es la longitud L del
Sol verdadero abatido (SVA) que es numéricamente idéntica a la longitud
del sol verdadero. El ángulo A-T-B
es la ascensión recta AR del Sol
verdadero.
La ventaja del Sol abatido es que
se mueve a la misma velocidad del Sol verdadero por lo que refleja la longitud
del mismo sobre el plano del ecuador lo que permite hacer las comparaciones.
Empleando nuevamente las
ecuaciones trigonométricas 1 y 2 podemos hallar la diferencia entre la longitud
del Sol verdadero y su ascensión recta que en definitiva es la reducción
al ecuador que estamos evaluando.
Al graficar los resultados:
La gráfica muestra que la reducción
al centro se anula cuatro veces al año lo que nos indica que el Sol
verdadero iguala su ascensión recta en los puntos de los equinoccios y en los
solsticios. Acá conviene decir, que los resultados de la hoja de cálculos hay
que manejarlos con cuidado ya que se ha demostrado en muchas oportunidades que
se presentan desviaciones en los mismos que incluso pueden llegar a 3 dígitos.
Por ejemplo, cuando el resultado debería ser 180° la hoja indica 179,999°. La
desviación máxima es de 2°27’54’’ para el ángulo de 46° según la hoja de
cálculos.
ECUACIÓN DEL TIEMPO.
En un determinado momento
cualquiera al comparar el tiempo Solar Medio que es el regulado por el Sol
Medio y el tiempo Solar verdadero dado por el Sol verdadero se verifica que existe
una diferencia entre ambos, esta diferencia se denomina ecuación del tiempo y se
define como la corrección que hay que aplicarle al tiempo medio para obtener el
tiempo real, siendo este tiempo real el
indicado por el reloj de Sol.
Hora solar = Hora legal -
ecuación del tiempo.
La ecuación del tiempo es la suma
de las dos correcciones anteriores, es decir de la ecuación del centro más
la reducción
al ecuador, la suma no puede realizarse de manera simple ya que el
origen de cada corrección es diferente. La ecuación del centro tiene su origen
el perihelio (perigeo visto desde la Tierra) mientras que la reducción
al ecuador lo tiene en el nodo ascendente que es el punto de Aries, lo
que implica que la diferencia angular entre el perihelio y el punto vernal es
de aproximadamente 283°, además el desplazamiento del Sol lo hace
retrógradamente por lo que la gráfica de la ecuación del centro
arranca a los 360º y en cuenta regresiva. Es decir, el cero para la reducción
de centro está a los 77º al mismo tiempo que los 360º para la reducción
del ecuador.
Realizando los ajustes requeridos el resultado está
plasmado en la interesante grafica siguiente:
La gráfica nos indica que cuatro
veces al año la ecuación del tiempo se anula lo que implica que en esos días en
particular la hora Solar coincidirá con la hora del reloj de pulsera, además
nos muestra cuatro picos de máximos y mínimos de la ecuación del tiempo por
lo que para esos días existirá una marcada diferencia entra ambos relojes, llegando
a un máximo de atraso de 16’36’’ aproximadamente a comienzos de noviembre y un
adelanto de máximo de 14’38’’ a mediados de febrero.
Como los dos puntos de referencia
de las correcciones son variable en el tiempo debido a la precesión y a la
nutación, anualmente se publican las tablas con los valores de la ecuación
del tiempo a lo largo de todos los días del año en curso ya que los
valores pueden variar de un año a otro.
Aunque disponemos ahora de los
valores de corrección día a día para “ajustar” al reloj de Sol sigue existiendo
una discrepancia que puede ser incluso mayor a la máxima desviación registrada
con la ecuación del tiempo. Esta desviación que se superpone a la
anterior tiene su origen por la diferencia geográfica del meridiano del lugar
donde se encuentre el reloj de Sol y el meridiano al cual se refiere la hora
local. En definitiva la hora verdadera local es la que suministra el reloj de
Sol mientras que la hora legal es una hora ficticia constante ideada por
razones comerciales y de comunicación entre lugares para establecer un horario
idéntico para muchas zonas como lo serían los estados de un país.
Para el
momento de las fotografías que abren el artículo, la ecuación del tiempo toma
el valor de -3” para el 2 de septiembre y de -10’4” para el 1 de octubre por
otro lado, para entonces en Venezuela se establecía la hora en el huso -4:30
que le corresponde la longitud geográfica de -67°30’ y el meridiano del lugar
donde se encontraba el reloj de Sol -62°27’ en la ciudad de Puerto Ordaz.
La diferencia entre el huso
horario y la longitud en Puerto Ordaz es de 5°3’ que llevados a horas son
20’12”, esto de entrada muestra que el reloj de Sol estará un poco más de 20
minutos de adelanto con respecto al reloj que fija la hora legal. Ha este
adelanto se le agrega la ecuación del tiempo que para el primero de octubre del
2.009 era de 10’4” dando una desviación total de 30’16” que son los 30 minutos
que logramos apreciar de diferencia en la fotografía que abre el artículo.
