FÓRMULA GENERAL PARA
DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER
POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –I-
Construyendo relojes de Sol.
A lo largo de las
entregas realizadas en este blog, hemos diseñado y trazado las cuatro variantes
más comunes de cuadrantes de los relojes de sol. Estos cuadrantes “principales”
son:
Cuadrante ecuatorial.
Cuadrante horizontal.
Cuadrante vertical.
Cuadrante vertical declinante.
A partir de los
diseños de los cuatro cuadrantes principales junto con su desarrollo
trigonométrico podemos intentar obtener una fórmula general que nos permita
determinar el ángulo horario para un cuadrante plano dispuesto en cualquier
posición intermedia a los cuatro cuadrantes principales.
Queda claro que el
cuadrante Ecuatorial es el más sencillo de todos, ya que estando paralelo al
ecuador celeste el ángulo horario “α” trazado sobre el cuadrante a partir del origen
del gnomón es de 15° angulares por cada hora transcurrida, de manera que entre
hora y hora hay una separación angular de 15°.
La figura siguiente
nos muestra los tres planos básicos de los cuadrantes solares, el Ecuatorial,
el Horizontal y el Vertical.
FIGURA 1
El ángulo “γ” y el
ángulo “β” son la proyección del ángulo horario “α” del cuadrante Ecuatorial
sobre el plano vertical y sobre el plano horizontal respectivamente.
A partir de la figura
1 podemos determinar la siguiente relación trigonométrica para determinar el
ángulo horario “β” del plano horizontal.
AB/OA = Tg(β)
AB/AD’ = Tg(α)
De ambas expresiones se obtiene:
Tg(β) = AD’xTg(α)/OA
Pero AD’/OA = Sen(ι)
que sustituyendo en la expresión anterior:
Tg(β) = Sen(ι)xTg(α)
También empleando un razonamiento similar podemos
determinar la relación trigonométrica entre el ángulo “α” y el ángulo “γ” del plano
vertical.
DA/AB =
Tg(γ)
AB/AD’
= Tg(α)
Tg(α) = Tg(γ)xAD/AD’
Donde:
AD/AD’ = 1/Cos(ι)
Sustituyendo la expresión queda:
Tg(γ) = Cos(ι)xTg(α)
Observando los resultados y analizando un
poco la figura 1 y la figura 2 se puede determinar la siguiente fórmula general
para hallar el ángulo horario “γ” para cualquier inclinación del cuadrante
Solar.
FIGURA 2
Tg(γ) = Cos(ι+θ)xTg(α)
El ángulo “θ” es la inclinación del cuadrante
que se mide a partir de la vertical (cenit) que pasa por el meridiano. “θ” es positivo
si el ángulo está hacia el polo elevado y negativo si el cuadrante esta
inclinada hacia el polo depreso. Entendiendo como polo elevado el que está
sobre el horizonte y el depreso el que no es visible.
Si el ángulo “θ” toma el valor de
:
θ = 0° è Tg(γ) =
Cos(ι)xTg(α) Cuadrante Vertical.
θ = ι° è Tg(γ) =
Tg(α) Cuadrante Ecuatorial.
θ = 90° ó -90° è Tg(β) = Sen(ι) xTg(α) Cuadrante
Horizontal.
La figura 3 nos muestra el caso particular de
un cuadrante Vertical pero declinante.
FIGURA 3
Con el apoyo de esta figura se puede
determinar la fórmula que determina el ángulo horario “δ” del plano declinante tomando
en cuenta al ángulo de declinación “f”.
Tg(γ) = AB/AD’ y
AB = AD + DB
AD/AC
= Cos(f) y DB/CB = Sen(β)
Sustituyendo:
Tg(γ) = ACxCos(f)/AD’ +
CBxSen(β)/AD’
Pero
AC/AD’ = Tg(δ)
Sustituyendo:
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xCB/AD’
Por otro lado: Cos(β) = CD/CB y Sen(f) = CD/AC
De las dos expresiones: CB = ACxSen(f)/Cos(β) y con
esta:
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xAC/(AD’xCos(β));
con Tg(δ) = AC/AD’
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xTg(δ)/Cos(β)
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Tg(β)xSen(f)x Tg(δ)
Factor común:
Tg(γ) = Tg(δ)x[Cos(f) + Tg(β)xSen(f)]
Finalmente:
Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ) = --------------------------------
[Cos(f) + Sen(f)xTg(β)]
Efectuando un análisis parecido al anterior
pero para la otra mitad de la pared (a partir de la línea vertical) la
expresión queda:
Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ)
= --------------------------------
[Cos(f) - Sen(f)xTg(β)]
Como se puede observar ambas fórmulas son casi
idénticas, variando solamente el signo “+” o el “-” según el lado de la pared
donde se hace la proyección. Como regla nemotécnica, el signo “+” del
denominador se corresponde para la mitad de la pared a partir de la línea
vertical (AD’) que está más cerca del observador y el “-” para el lado más
alejado. Tomando en cuenta que esto es válido sólo para un observador que ve
hacia el polo elevado y el nomon es paralelo al eje del mundo.
Considerando también que Tg(β) = Sen(ι)xTg(α), la expresión anterior queda:
Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ)
= -----------------------------------------
[Cos(f) ± Sen(f)x Sen(ι)xTg(α)]
Esta última expresión es la que nos permite
determinar el ángulo horario “δ” sobre el cuadrante vertical declinante en
función del ángulo horario ecuatorial “α”, la latitud “ι” del lugar y del
azimut gnomónico “f”
o ángulo declinante del cuadrante solar.
La figura 4 muestra el caso en que el polo
elevado sea el Polo Norte, el lado más (+) cerca al observador es el hombro
izquierdo, la pared posee declinación hacia el Este.
FIGURA
4
Ahora trataremos el caso general que es el
tema final de esta entrada. Pero antes de continuar con el desarrollo
trigonométrico hay que definir cuales son los planos de referencia sobre los
cuales se efectúan las mediciones de los ángulos de declinación y de inclinación
del cuadrante solar.
La figura 5 nos muestra un cuadrante solar
declinante e inclinado mostrando los ángulos principales.
FIGURA
5
El eje de rotación del cuadrante para formar
el ángulo de declinación “f” es la
línea vertical que parte del punto medio de la arista del cuadrante que está en
el suelo (punto “A” de la figura 5), este ángulo de declinación “f” es el azimut del cuadrante (pared o muro). A este ángulo lo denominan
también azimut gnomónico.
Llamaremos como INCLINACIÓN GNOMÓNICA del cuadrante al ángulo “θ” contenido en el
plano vertical (OKGO) que forma el meridiano del lugar. Desde el punto de vista
práctico la inclinación del cuadrante se mide por el ángulo “χ”, medido en el
plano vertical formado por los puntos “HKGIH” que es perpendicular al cuadrante
donde se trazaran las líneas horarias del reloj de Sol, a esta inclinación la
denominaremos INCLINACIÓN NORMAL.
Con el apoyo de la figura 5 podemos encontrar
la relación entre la inclinación nomónica “θ” (que es la inclinación real del
muro a efectos de los cuadrantes para relojes de Sol) y la inclinación normal
“χ” del cuadrante y la declinación (azimut) “f”. De aquí:
Tg(χ) = HK/KG
Tg(θ) = AK/KG
KG = AK/ Tg(θ) è Tg(θ) x HK7AK = Tg(χ); pero Cos(f) = HK/AK
Finalmente:
Tg(χ) = Cos(f) x Tg(θ)
Esta última expresión nos muestra que la
inclinación normal (χ) del cuadrante está relacionada con la declinación (f) y la inclinación gnomónica (θ).
Si observamos bien la figura 5, veremos que
la línea “AG” que es la intersección del plano definido por el nomon vertical
“OKGO” con el plano (en azul) del cuadrante, está inclinada con respecto a la
línea “HG” formando el ángulo “ω”. La línea “HG” nace en el punto “G” origen del
nomon y recorre al cuadrante hasta el punto “H” perpendicular al plano
horizontal. La figura 6 nos muestra una
visualización perpendicular al cuadrante.
FIGURA
6
Desde esta perspectiva se visualiza
claramente que la línea “AG” está inclinada con respecto a la línea “HG” del
cuadrante que es perpendicular a la horizontal “AH”.
Cabe destacar, que la línea “AG” se
corresponde con el plano meridional, de manera que la sombra del gnomón justo
al mediodía solar estaría sobre esta línea, lo que implica, que el cuadrante
horario (líneas horarias) estaría “girado” por decirlo así en el ángulo “ω”.
A partir de la figura 5 se puede deducir la
fórmula que nos relaciona el ángulo de “giro” “ω” con la declinación gnomónica del
cuadrante “f” y su inclinación gnomónica “θ”.
Sen(f) = AH/AK
Sen(ω) = AH/AG
AH = AG x
Sen(f)
Sen(f) = Sen(ω) x AG/AK, pero Sen(θ) = AK/AG
Finalmente:
Sen(ω) = Sen(f) x Sen(θ)
La figura 7 nos muestra el caso general del
cuadrante declinante e inclinado en donde se observan los planos principales
(ecuatorial, vertical declinante y declinante inclinado) y sus ángulos asociados
necesarios para el desarrollo trigonométrico.
FIGURA
7
El ángulo “γ” es el ángulo horario para el
cuadrante declinante inclinado y de la figura 7 se deduce:
Tg(γ + ω) = HC/HG; pero HC = HA+AC
Tg(γ + ω) = HA/HG + AC/HG; y Tg(ω) = HA/HG
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + AC/HG
Tg(δ) = AC/AE. El ángulo “δ” es el ángulo
horario del cuadrante vertical declinante. AC = AExTg(δ). Sustituyendo:
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x AE/HG; por otro
lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el
reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x
FA/[HG x Cos(ι)]
Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x
Cos(ω), de aquí:
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ )/[Cos(ι) x Cos(ω)]
x FA/AG; con Cos(ι+ θ) = FA/AG. Queda:
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι)
x Cos(ω)]
Si sustituimos Tg(δ) por la expresión que fue
deducida en el análisis del cuadrante vertical declínate, la fórmula anterior finalmente
queda:
Cos(ι+
θ) x Tg(α)
Tg(γ + ω) = Tg(ω) +
________________________________________________________
Cos(ω) x [Cos(f) + Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]
En donde:
γ = Ángulo horario
del cuadrante declínate inclinado.
ω = Ángulo de giro
del cuadrante horario o de las líneas horarias.
ι = Latitud del
lugar.
θ = Ángulo de
inclinación gnomónica del cuadrante.
f = Ángulo
declinante o de azimut gnomónico.
α = Ángulo horario
en el cuadrante Ecuatorial. 15° = 1 hora.
Está fórmula nos permite calcular el ángulo
horario “γ” para el lado de la pared que está más próxima al observador, de
acuerdo a la regla indicada al final del desarrollo de la ecuación para el caso
del cuadrante Vertical Declinante.
La figura 8 nos muestra el ángulo horario “γ”
para el lado de la pared que se aleja del observador.
FIGURA
8
De la figura se deduce:
Tg(γ- ω) = HD/HG; pero HD = AD - HA
Tg(γ- ω) = AD/HG - HA/HG; pero Tg(ω) = HA/HG
Tg(γ- ω) = AD/HG - Tg(ω)
Por otro lado, Tg(δ) = AD/AE. El ángulo “δ”
es el ángulo horario del cuadrante vertical declinante. AD = AExTg(δ).
Sustituyendo:
Tg(γ - ω) = Tg(δ) x AE/HG -Tg(ω); por otro
lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el
reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:
Tg(γ - ω) = Tg(δ) x FA/[HG x Cos(ι)] - Tg(ω)
Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x
Cos(ω), de aquí:
Tg(γ - ω) = Tg(δ ) x FA/[AG x Cos(ι) x Cos(ω)] - Tg(ω); con Cos(ι+
θ) = FA/AG. Queda:
Tg(γ - ω) = Tg(δ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι) x
Cos(ω)] - Tg(ω)
Y sustituyendo Tg(δ) por su ecuación nos
queda:
Cos(ι+ θ) x Tg(α)
Tg(γ - ω) = _________________________________________________________
-Tg(ω)
Cos(ω) x [Cos(f) - Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]
Si observamos las ecuaciones veremos que son
iguales, cambiando el signo según el lado de la pared que está más (+) cerca
del observador o menos (-) cerca a partir de la línea de unión del plano
vertical del nomon con el cuadrante inclinado-declinante. Con lo que la
ecuación quedaría:
Cos(ι+ θ)
x Tg(α)
Tg(γ ± ω) = _________________________________________________________
±Tg(ω)
Cos(ω) x [Cos(f) ± Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]
Esta última formula es la ecuación general trigonométrica
para determinar los ángulos horarios de cualquier cuadrante plano.
Recordemos que el trazado de las líneas
horarias parten de la vertical definida por el plano meridional, es decir los
cero grados son las 12 del mediodía y que para el cuadrante declinante
inclinado, la línea de las 12 (los cero grados para el trazado de las líneas
horarias) está aparentemente ladeada o girada de la vertical en el ángulo “ω”. El
sentido de la rotación de las líneas horarias es el mismo del azimut.
Podemos hacer una comprobación rápida de la
fórmula, veamos el caso de un cuadrante ecuatorial. Como no hay declinación el
ángulo ω = 0. Como la inclinación es la latitud θ = ι, al colocar estos valores
en la ecuación general nos queda: Tg(γ) =
Tg(α) y esta es la fórmula para los relojes ecuatoriales.
En la entrada siguiente se elaborará una
maqueta de reloj de Sol de cuadrante inclinado y declinante como ejercicio para
verificar la fórmula general encontrada.
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