RELOJ DE
SOL ANALEMATICO SIN ANALEMA.
Construyendo
Relojes de Sol.
En una
entrega anterior construimos un interesante reloj de Sol de nomon móvil
y en esta oportunidad trazaremos otro reloj de Sol también de nomon móvil. El reloj
analemático.
Este
interesantísimo reloj de Sol es particularmente llamativo porque normalmente se
construye de manera que las personas interactúen con el directamente formando
parte del mismo y de allí su poderoso encanto, regalándonos unos minutos de
distracción y felicidad independientemente del nivel de insolación.
Por
otro lado, considero que el desarrollo matemático del mismo es muy interesante
y estimulante por la curiosa fusión de la geometría de la elipse y los
parámetros para su trazado.
Es un buen momento para compartir con los
niños, estimulándolos para la realización artística del reloj de Sol en la
calle o en el patio de la escuela, dándoles la oportunidad de un nuevo
aprendizaje: La relación que existe entre el Sol y las horas del día.
También les permite tener contacto con la
aplicación de la geometría como una actividad útil fuera del aula y de hacerlos
conscientes de lo que significa llevar a la practica un diseño en papel, de
manera que los enfrenta y desafía para resolver el problema técnico de trazarlo
en el suelo.
Intuitivamente podemos desvelar el misterio
del reloj Analemático, si nos detenemos un momento en ver el comportamiento de
las sombras del reloj Acimutal, rápidamente nos daremos cuenta que las sombras son irradiadas desde
la base del gnomon y proyectadas según la atura y el azimut del Sol, de manera
que si por ejemplo trazamos la proyección de las sombras a las 7 de la mañana
de los primeros días de cada mes, tendremos una especie de rayos abanicados que
parten de un punto, pero con longitudes diferentes como lo muestra la figura 1.
FIGURA
1
Si invertimos la imagen, es decir, que todas
las líneas (sombras) lleguen a un punto en vez de salir de él, tenemos el
diseño que nos muestra la figura 2.
FIGURA
2
Esta nueva disposición de las líneas de las
sombras se consigue trazando las paralelas o “moviéndolas” por el extremo libre
hasta que hagan contacto con la punta de la sombra (línea) más larga. Esta
operación la realizamos con todas las líneas.
Posteriormente trazamos una línea recta con
dirección Norte-Sur (por la línea meridional) que puede partir de la sombra más
larga. Los meses quedan definidos sobre esta línea meridional en los puntos
donde cada línea o prolongación que representa la sombra de cada mes
interceptan a la línea Norte-Sur, quedándonos una imagen como lo muestra la
figura 3.
FIGURA
3
En los puntos de intercepción colocamos el
nombre del mes o la primera letra del mismo. Estos puntos son muy importantes y
deben quedar bien definidos en el plano horizontal sobre la línea recta que
representa la meridional del lugar, pues es allí donde debe estar el gnomon
para que la sombra del mismo de la hora correcta dependiendo del mes en que se
este tomando la hora Solar.
Podemos aprovechar la información de longitud
de sombra y ángulo azimut que obtuvimos en el trazado del reloj Azimutal. La
tabla siguiente (figura 4) es un resumen de la longitud de sombra (mm) y del azimut
del Reloj de Sol de Cuadrante Azimutal que ya presentamos en este blog, aquí
podemos utilizarla, asumiendo que los 100 mm del gnomon ahora son 100
centímetros, la altura de un niño pequeño si se piensa hacer una realización a
escala natural de este reloj, o hacemos la extrapolación de estos datos de
altura para otro valor de estatura.
FIGURA
4
Realizando el mismo procedimiento anterior
(figura 2 y 3) para cada hora individualmente marcando el punto que representa
la hora y luego uniendo todos los puntos obtenidos que representan a las horas
se consigue el asombroso diseño mostrado en la figura 5.
FIGURA
5
La línea vertical que divide al reloj de Sol
en dos partes iguales y que pasa por la meridiana del lugar la denominaremos
línea “temporal”, por que en ella se colocan los meses del año.
El arco descrito por las horas en el
cuadrante del reloj de Sol Analemático es interesante, aunque es muy difícil
verlo en este dibujo por la distorsión sufrida por la figura debido a nuestra
latitud tan próxima a la línea del ecuador. Su forma es particular, ya que se
trata de un segmento de elipse; en realidad lo que estamos viendo es la
proyección deformada del desplazamiento del Sol a lo largo del año por la
bóveda celeste la cual es un círculo.
Si a la imagen conseguida en el desarrollo
del cuadrante del reloj Analemático le superponemos una elipse que pase por
todos los puntos horarios encontrados, obtendremos el dibujo mostrado en la
figura 6 en donde se puede apreciar claramente que el arco trazado por las
horas pertenece a una elipse cuyo eje mayor coincide en este caso con la línea
que separa las 6:00 AM de las 6:00 PM.
FIGURA
6
El hecho de que la curva desarrollada por las
sombras sea parte de una elipse nos facilita hasta cierto punto la realización
práctica del reloj, ya que los puntos de referencia más importantes de la
elipse para su trazado son los focos, los cuales son fácilmente ubicables para
poder realizar el trazado de la elipse en el suelo.
Sobre nuestro diseño a escala en papel,
podemos medir directamente el largo del eje mayor y del eje menor de la elipse,
pero también podemos determinar el eje mayor o el menor trigonométricamente una
vez definida la longitud de uno de los ejes de la elipse y la latitud del lugar
donde se realizara el trazado.
Para hallar esta fórmula que nos permita
determinar el tamaño del eje menor en función del eje mayor de la elipse o
viceversa y la latitud del lugar imaginemos por un momento a un observador
situado en el polo Norte, para este observador el Sol describe un círculo
alrededor de él durante su desplazamiento por la bóveda celeste, de manera que
si se proyecta el recorrido Solar en el plano horizontal del observador el
resultado es una circunferencia. Este observador se desplaza hasta la latitud
“l”, ahora ese mismo círculo que se proyectaba en el plano horizontal del polo
norte, se ve proyectado sobre un plano inclinado en un ángulo (90-l) que es el
complemento de la latitud “l”, de manera que el diámetro del círculo se
mantiene en la dirección Este-Oeste mientras que en la dirección Norte-Sur se
achata de acuerdo al Coseno de (90-l), que es lo mismo que el Seno de la
latitud “l”. De aquí se concluye que:
b = a x Sen(l) ………. [1]
Donde “b” es la longitud del semieje menor,
“a” la longitud del semieje mayor a la
latitud del lugar “l”.
Para el trazado de la elipse y de las horas
sobre la misma es fundamental conocer la posición de los focos en el eje mayor,
la fórmula geométrica que relaciona la distancia del centro de la elipse a uno
de los focos es:
c2 = a2 - b2 ……… [2]
Donde “c” es la distancia al foco desde el
centro de la elipse, “a” y “b” los semiejes mayor y menor respectivamente.
Conociendo el valor de “c” y del semieje
mayor “a” tenemos la información necesaria para el trazado de la elipse en la
maqueta o en el suelo.
Si se tiene en mente trazar un reloj de Sol
Analemático con los niños debe emplearse por comodidad el método denominado “del
jardinero” por ser uno de los más simples y divertidos de hacer.
Hay una anécdota de donde surge este
procedimiento práctico de trazar una elipse de la cual expondré sólo un
resumen.
Se dice que este método fue un descubrimiento
accidental por parte de Toussaret que era uno de los jardineros de la corte del
Rey Sol (Luis XIV) de Francia.
Se cuenta que ha este jardinero le
encomendaron sembrar unas flores de manera que lo hiciera en un gran círculo.
El procedimiento empleado por entonces (y hoy en día aún) consistía en utilizar
una cuerda doble con el fin de colocar el lazo de la cuerda en una estaca y por
medio del nudo se ajustaba el diámetro del círculo a trazar. Tousseret tenía
para trazar su círculo una estaca ya clavada en un lugar que no era el centro
del lugar donde se sembrarían las flores. Tousseret distraído no retiro la
primera estaca y clavó la suya que suponía el centro del círculo en el lugar
indicado pero no se percató de que el lazo de la cuerda enlazaba a las dos
estacas. Tousseret realizo su trazado, retiro las estacas y sembró las flores
sin percatarse que no era un círculo los que había dibujado. Se dice que el
maestro de jardineros se molestó mucho por el trabajo realizado ya que no cumplía
con lo exigido y llamó la atención del Duque de Grandlieu, quién al observar la
figura quedó maravillado por su armonía. Fascinado por el trazado le preguntó
al jardinero Tousseret cómo lo había conseguido y este fue incapaz de explicar
como lo había logrado. Tousseret había descubierto aquella maravillosa figura
que los antiguos griegos conocieron bajo el nombre de elipse.
Ya habíamos comentado que nuestra elipse no
es más que la imagen distorsionada del circulo descrito por el Sol y si hacemos
memoria, el circulo trazado en el plano horizontal del Polo Norte se
corresponde con el Cuadrante Ecuatorial en donde las horas están repartidas
uniformemente y a cada 15º unas de otras, esta información preliminar la
podemos aprovechar sabiendo que nuestra elipse tiene como origen el círculo.
Para colocar las horas sobre la elipse trazada o el segmento de la misma,
debemos hallar la distancia desde el centro de la elipse sobre el eje mayor
hasta la hora que queremos marcar, para ello resolvemos la siguiente relación:
X = a x Sen(H) ……… [3]
Donde “X” es la distancia del centro a la
hora sobre el semieje mayor, “H” es el ángulo horario que vale 15º por cada
hora. Las 12 del mediodía son 0º, las 11 AM y 1 PM son 15º a uno y otro lado,
las 10 AM y 2 PM son 30º y así sucesivamente. En realidad, con la formula
anterior tenemos las coordenadas polares del punto que representa la hora.
Con la distancia “X” definida sobre el eje
mayor, podemos determinar la hora sobre la elipse, colocando a 90º con respecto
al semieje mayor una línea o un objeto recto marcando el lugar donde la línea o
el objeto recto intercepten a la elipse.
Las figura 7 nos muestra el procedimiento
para determinar la hora sobre la elipse.
FIGURA
7
El círculo blanco representa el cuadrante
ecuatorial, el punto “C” se corresponde con el centro de la elipse que es el
mismo del círculo. La línea “C-5” está a 15º de la horizontal y es el ángulo
complementario de 75º (H=75º), el número “5” representa las “5 de la tarde” en
el cuadrante ecuatorial. La proyección del “5” (número en color verde azulado)
del cuadrante ecuatorial sobre el eje mayor de la elipse es el punto “X” que
hallamos con la fórmula anterior, la cual es fácilmente deducible de este
dibujo. De aquí que la hora sobre la elipse se corresponde a la intercepción de
la línea vertical (perpendicular al eje
mayor) con la curva de la elipse. Es allí donde va la marca que indica las “5
de la tarde” en el reloj Analemático (número en color blanco).
Con las fórmulas anteriores podemos trazar la
elipse y colocar las horas sobre la misma, faltándonos determinar la posición
de los meses sobre la línea “temporal.
El método gráfico para colocar los meses
sobre la línea “temporal” o meridional ya lo vimos al inicio del artículo,
tratemos ahora el método analítico.
Por facilidad, los desarrollos trigonométricos
se hacen al mediodía Solar, momento en que el Sol se encuentra en su culminación
y la sombra del nomon cae sobre la meridiana. Lo que nos interesa es colocar
los meses sobre la línea temporal que corre sobre la meridiana en función de la
declinación del sol y de la latitud.
Para un nomon colocado en el Ecuador
Terrestre, la longitud (Ls) de la sombra del mismo al mediodía se puede
determinar por medio de la expresión:
Ls = AG x Tg(d) ……… [4]
Donde “AG” es la longitud del nomon y “d” la
declinación del Sol.
La longitud de la sombra “Ls” se corresponde
también al desplazamiento que debe sufrir el nomon sobre la meridional para que
la punta de su sombra llegue a la línea equinoccial, que en el caso del reloj
Analemático es el arco de la elipse.
Para una ubicación fuera del ecuador, la
longitud de la sombra “Hl” del nomon en función de la latitud “l” se determina
por la expresión:
Hl = AG x Tg(l±d) ……… [5]
Por otro lado, podemos deducir que la
longitud de la sombra toma el valor “b” del semi-eje menor de la elipse cuando
la declinación del Sol es 0°. De aquí que la altura “AG” del nomon queda
expresada por:
AG = b/Tg(l)
Por otro lado:
b = a x Sen(l)
Sustituyendo:
AG = a
x Sen(l)/Tg(l)
Como:
Tg(l) = Sen(l)/Cos(l)
Queda:
AG = a x Cos(l) ……… [6]
Esta última fórmula nos relaciona la altura
del nomon en función de la latitud del lugar y del semieje-mayor de la elipse.
Si sustituimos “AG” de la fórmula [6] en la fórmula
[4] que nos da la longitud “Ls” de la sombra queda la expresión siguiente:
Ls = a x Cos(l) x Tg(d) ……… [7]
Esta ecuación trigonométrica nos permite
determinar la posición o el desplazamiento del nomon sobre la línea meridiana
(temporal) en función de la latitud del lugar y de la declinación del Sol para
el día en que se hace la medición de la hora Solar. Para valores positivos de
la declinación del Sol, el desplazamiento del nomon es positivo, es decir se
desplaza al Norte por hacerse más corta la sobra y cuando la declinación es
negativa, se desplaza al Sur. Siempre tomando como referencia el centro de la
elipse.
Podemos determinar la posición del nomon para
los valores de declinación Solar, por ejemplo para los primeros de cada mes y realizando
una marca sobre la meridional e identificándola con el mes en cuestión.
Podemos extender un poquito más el análisis y
maravillarnos con las relaciones matemáticas singulares de la elipse a parte de
las que aprendimos en la escuela.
La figura 8 nos muestra la elipse trazada
para una latitud cualquiera. El triángulo formado por los puntos “FOAF” nos permite conseguir
algunas relaciones interesantes.
FIGURA
8
El segmento “FO” representa la distancia del
foco al centro de la elipse “c”, el segmento de línea “AO” nos representa el
semi-eje menor “b” de la elipse y por último, el segmento de línea “AF”
representa la línea que une el foco de la elipse con el semi-eje menor y representa
al semi-eje mayor “a”. De aquí:
Sen(X) = b/a
Pero ya habíamos encontrado que:
b = a x Sen(l)
Sustituyendo “b” queda:
Sen(X) = Sen(l)
Lo que implica que el ángulo “X” toma el
valor de la latitud “l” del lugar.
Conociendo el valor del ángulo “X = l”
podemos encontrar la relación siguiente:
Cos(l) = c/a
La figura 9 nos muestra el desplazamiento “H”
(segmento de línea “OB”) que debe realizar el nomon para una declinación cualquiera del Sol y con
cualquier latitud.
FIGURA
9
El segmento de línea “FO” del triángulo
formado por los puntos “FOBF” es la distancia “c” del foco al centro de la
elipse como ya vimos. El segmento “OB” es el desplazamiento “H” que debe
realizar el nomon para cualquier declinación. Trigonométricamente:
Tg(Y) = H/c
El desplazamiento “H” tiene la expresión ya
encontrada [7]:
H = a x Cos(l) x Tg(d)
Sustituyendo……
Tg(Y) = a x Cos(l) x Tg(d)/c
Por otro lado,
Cos(l) = c/a
De aquí nos queda:
Tg(Y) = Tg(d)
Este resultado implica que el ángulo “Y”
tiene el mismo valor que la declinación “d” del sol, de manera que podemos
encontrar la posición del nomon trazando una recta desde el foco de la elipse
hasta que intercepte a la meridional con ángulo igual a la declinación del Sol
tomando como línea “cero” la línea “c” del foco al centro de la elipse. El ángulo
toma el mismo signo que la declinación.
FIGURA
10
Para concluir con el análisis de las
relaciones matemáticas y la elipse del reloj Analemático volvamos a la expresión
[2]:
c2 = a2 - b2
Sabemos de la fórmula [6]:
a = AG ÷ Cos(l) ……… [8]
Sustituyendo [8] en [1]:
b = AG
x Sen(l)/Cos(l)……… [9]
Y sustituyendo ambas expresiones [8], [9] en [2],
factorizando y simplificando:
c2 = AG2 ……… [10]
Además, para simplificar aún más la fórmula
[7], sustituimos en [7] la ecuación [8] quedando la expresión [7] como:
H = AG x Tg(d) ……… [11]
Con este último resultado ya disponemos del
conocimiento tanto geométrico como trigonométrico necesario para la realización
práctica de nuestro reloj Analemático.
Para cerrar el capítulo correspondiente las fórmulas,
a continuación se colocan las ecuaciones requeridas en función de la altura de
la persona (altura AG del nomon) para el desarrollo y trazado del reloj
Analemático.
|
FÓRMULA
|
OBSERVACIÓN
|
|
a = AG ÷ Cos(l)
|
Semi-eje
mayor de la elipse
|
|
b = AG x Tg(l)
|
Semi-eje
menor de la elipse
|
|
H = AG x Tg(d)
|
Recorrido
del nomon (meses sobre la meridional)
|
|
X = a x Sen(H)
|
Ubicación
de las horas con respecto al centro de la elipse
|
|
AG = C
|
Distancia
del centro de la elipse al foco.
|
Estas cinco fórmulas son suficientes para el
desarrollo del reloj de Sol Analemático.
Es una buena idea realizar una maqueta del
reloj de Sol Analemático planeado antes de hacerlo a tamaño natural, la maqueta
a escala nos permite visualizar el aspecto que tendría el reloj Analemático,
verificar su funcionamiento y permitirle a los niños entender desde una mejor
perspectiva cual es el diseño que obtendrán una vez lo realicen a la escala
natural, también les da la oportunidad de emplear su fantasía visualizando si
lo desean que dibujos o diseños pueden emplear siempre y cuando respeten el
contorno base del reloj.
La maqueta la fabricaremos con cartón de construcción
de 2 mm de espesor como todas las maquetas de relojes de Sol que se han
mostrado en el blog.
La maqueta a escala que se realizará está
basada para una estatura promedio de los niños de 1,20 metros.
Los datos para la realización del reloj
Analemático propuesto son:
Latitud: 8,27°
Altura promedio del niño: 1,20 metros.
Los parámetros que definen a la elipse una
vez realizado los cálculos son:
Semi-eje mayor de la elipse: 1,21 metros.
Semi-eje menor de la elipse: 0,17 metros.
Distancia “c” del foco al centro: 1,20 metros.
FIGURA
11
FIGURA
12
Las fotos muestran al simpático Señor Burns indicándonos
la hora solar.
