TRAZANDO EL ANALEMA

TRAZANDO EL ANALEMA.

Mecánica del Analema, su desarrollo analítico, su trazado y su interpretación.

Cuando investigamos sobre los relojes Solares surge una y otra vez la palabra analema como un artilugio para “corregir” la Hora Solar con respecto a la Hora Legal, lo que se busca es la concordancia entre la hora de los relojes “mecánicos” con la hora indicada por los relojes de Sol.

Ya vimos en el artículo Hora Legal, Hora Solar cual es el origen de la discrepancia entre la Hora Legal y la hora dada por los relojes de Sol.

El Analema no es un fenómeno natural como tal ya que se hace manifiesto únicamente al comparar la posición del Sol día a día a la misma Hora Legal, hora que no es natural sino una invención por necesidad del hombre.

El Analema es una figura geométrica con forma que recuerda al número ocho (8) y es generada por la combinación de dos movimientos oscilatorios perpendiculares entre sí, uno producto de la Ecuación del Tiempo que se realiza en el eje Este-Oeste y el otro por la declinación del Sol que ocurre en el eje Norte-Sur, el resultado es una figura de Lissajous.

Una manera rápida de visualizar gráficamente el Analema es aprovechando la función de la hoja de cálculos EXCEL para la realización de gráficos, como valores de “X” y “Y” colocamos los indicados en la tabla de la Ecuación del Tiempo y los mostrados en la tabla de la declinación del Sol, ambos en grados, aunque podemos hacer la combinación grados-minutos. Como EXCEL ajusta automáticamente la escala para los ejes de coordenadas, la gráfica que muestra está distorsionada desarrollando un analema bastante abombado y no estilizado como es en realidad. Esta distorsión del Analema no nos permite sobreponerla al cuadrante solar. Sin embargo, cabe la posibilidad de explorar los cambios que sufre la figura ajustando las escalas de los ejes de coordenadas para obtener una imagen más aproximada a la que veríamos en el cielo si fotografiáramos la posición del Sol varios días a lo largo del año. La imagen siguiente muestra el Analema desarrollado en EXCEL con la escala automática.

Sobre esta figura podemos colocar algunos puntos importantes o de interés, como la línea de los equinoccios y la de los solsticios, la línea del meridiano, los días en que la Ecuación del tiempo es cero y cuando es la máxima entre otras cosas.

Para el trazado del Analema sobre el cuadrante Solar tenemos que partir de la posición del Sol en el firmamento y de la proyección de la sombra del nomon sobre el cuadrante solar.

El Analema se puede realizar para cualquier hora, pero el que nos ocupa lo trazaremos solamente para el mediodía con el fin de determinar el atraso o adelanto del Sol Verdadero con respecto al Sol Medio justo al mediodía Legal, es decir, la Ecuación del Tiempo.

Para trazar el Analema necesitamos establecer dos referencias importantes:

1- Longitud de la sombra.

2- Acimut de la sombra.

Estos parámetros son en realidad las coordenadas polares que establecen la posición de los puntos sobre el cuadrante Solar que nos permitirán dibujar el analema.

LONGITUD DE LA SOMBRA.

La longitud de la sombra es una función de la altura del nomon que utilicemos y de la altura del Sol sobre el horizonte.

La altura del Sol es a su vez una función trigonométrica (trigonometría esférica) de la declinación del Sol, de la latitud del lugar donde está el nomon y del ángulo horario tal como se expuso en el artículo correspondiente al Reloj de Sol Azimutal.

La fórmula que nos permite determinar la altura “a” del astro Rey en el firmamento es la siguiente:

Sen (a) = Sen (l) x Sen (d) + Cos (l) x Cos (d) x Cos (H)

Donde:

a = Altura del Sol sobre el horizonte en grados.
l = Latitud del lugar en grados.
d = Declinación del Sol en grados.
H = Ángulo horario medido con respecto al meridiano del lugar en grados.

La declinación del Sol la obtendremos de la tabla siguiente.

Hay que tener en cuenta que la altura del Sol dada por la fórmula se mide viendo hacia al Polo Sur o al Polo Norte. El Sol llega al cenit cuando la declinación del mismo tome el valor de la latitud del lugar. A partir de este punto se debe considerar lo siguiente:

Para los que estamos dentro del Trópico de Cáncer, cuando la declinación del Sol es negativa, la altura se toma mirando al Sur, esta orientación se mantiene hasta que el Sol alcance el Cenit. Para los días consecutivos, la altura se mide mirando al Norte.

El ángulo horario es una función de la Hora Legal, de la hora por diferencia de longitud entre el meridiano del lugar donde se trazará el analemma y del huso horario optado en el país, y de la Ecuación del Tiempo.

Para nuestro caso, el ángulo horario es el desplazamiento angular del Sol con respecto al meridiano del lugar y esto define la Hora Solar (Hs), la Hora Solar puede calcularse por medio de la fórmula siguiente:

Hs = HL + DL + ET

Donde:

Hs = Hora Solar.
HL = Hora Legal referida al UTC adoptado. Para Venezuela es el -4:30.
DL = Hora por diferencia de longitud geográfica.
ET = Ecuación del Tiempo.

La diferencia de longitud geográfica “DL” queda establecida como la diferencia angular expresada en tiempo entre el meridiano del lugar “ML” y el UTC.

DL = ML – UTC

Cuando la diferencia por longitud es negativa, el meridiano del lugar está atrasado con respecto al UTC y si la diferencia por longitud es positiva, nos indica que el meridiano del lugar está adelantado al UTC, de manera que el Sol llega primero al meridiano del lugar antes de llegar al UTC.

En el caso de Puerto Ordaz, el meridiano del lugar donde estará el analemma es el -62°:27’ y el UTC para el País es el -4:30, que expresado en grados es -67°:30’. La diferencia da 5°:3’, que en tiempo se corresponde con 20’:12”. Como el valor es positivo, me indica que Puerto Ordaz tiene la Hora Solar adelantada con respecto a la Hora Legal en 20’:12”.

Cabe recordar que hoy por hoy tenemos a mano recursos tecnológicos que hace un par de décadas atrás estaban reservados a asociaciones o institutos científicos y/o tecnológicos, algunos de estos recursos son los computadores y el Internet. Con este par de “herramientas” podemos conocer nuestra latitud y nuestra longitud de manera muy exacta y basta con acceder al Google Earth y ubicar en el mundo donde colocaremos nuestros relojes de Sol. Con ayuda de esta tecnología es que he determinado mi ubicación geográfica.

La ecuación del tiempo queda definida por:

ET = Sm – Sv

Donde “Sm” es la ascensión recta del Sol Medio y “Sv” es la del Sol Verdadero, la Ecuación del Tiempo “ET” toma valores negativos o positivos según la ascensión recta del Sol Verdadero es mayor o menor que la ascensión recta del Sol Medio, es decir, el Sol Verdadero se “adelanta” al Sol Medio o se “atrasa”, reflejándose un atraso o un adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Solar Media. Por ejemplo, si para el 1ro de Octubre la Ecuación del Tiempo tiene como valor +10’:04”, el Sol Verdadero está atrasado (menor ascensión recta) con respecto al Sol Medio y para efecto de la hora diurna, este valor de “ET” se corresponde a un adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Legal en esa cantidad con su respectivo signo, así que para el meridiano UTC, al mediodía el reloj de Sol se adelanta en 10’:04” a la Hora Legal.

De aquí que la Ecuación del Tiempo se puede expresar también de la manera siguiente:

ET = Hs – HL

Donde “HL” es la Hora Legal y “Hs” la Hora Solar.

Para nuestros cálculos, los cuales se harán para los medios días legales, el ángulo correspondiente a las 12 PM legales es cero, HL = 0, de manera que la ecuación para determinar el ángulo horario del Sol a las 12 PM legal queda reducida a:

Hs = DL + ET

La tabla siguiente nos da la Ecuación del Tiempo para cada día del año expresada en grados.

La longitud de la sombra queda definida por la siguiente expresión de trigonometría plana:

Ls = AG ÷ Tg (a)

Donde:

Ls = Longitud de la sombra.
AG = Altura del nomon.
a = Altura del Sol en grados.

La altura del nomon la definimos de acuerdo al tamaño de la proyección que deseemos, para los efectos de este proyecto el nomo tendrá por altura 100 mm.

ACIMUT DE LA SOMBRA.

El ángulo azimut es una función de la altura del Sol, del ángulo horario, de la declinación del Sol y de la latitud del lugar de observación y puede calcularse por medio de:

Cos (Z) = (Sen (l) x Sen (a) – Sen (d)) ÷ (Cos (l) x Cos (a))

Donde:

Z = Ángulo azimut medido desde la meridiana mirando al Sur y positivo hacia el Este.
l = Longitud del lugar.
d = Declinación del Sol para el día en cuestión.
a = Altura del Sol para el día y hora en cuestión.

Determinando la longitud de la sombra y el ángulo azimut por ejemplo, para cada mediodía de los días 1, 12, 21 y 30 de cada mes, obtendremos la tabla siguiente.

Los resultados de la longitud de la sombra se consiguieron para una altura de nomon (AG) de 100 mm. Cabe aclarar, que el ángulo acimut calculado es la posición del Sol en el firmamento y que nosotros estamos trabajando con la proyección de la sombra del nomon, de manera que al acimut calculado tenemos que sumarle 180° para que nos de la dirección y sentido de la sombra. Estos son los valores de acimut mostrados por la hoja de cálculo anterior.

EL ANALEMA.

Para el trazado del Analema ya se dispone de las coordenadas polares de los puntos correspondientes a los días 1, 12, 21 y 30 de cada mes, en donde la longitud de la sombra es el radio vector y el azimut el ángulo. Con la ayuda de regla y transportador o mejor aún empleando un programa de diseño asistido con computador podemos colocar los puntos sobre un papel de acuerdo a las coordenadas polares encontradas. Evidentemente, la curva estará mejor definida y exacta en la medida que se utilicen más puntos (días) para su trazado.

La figura siguiente muestra el trazado de la “sombra” del nomon correspondiente a los meses de Enero y Diciembre sobre el plano horizontal.

Una vez realizado el trazado de todas las “sombras” sobre el papel, unimos sus extremos libres en el mismo orden en que se colocaron las líneas que representan a las sombras del nomon y con esto conseguimos la figura del Analema.

La imagen siguiente muestra el Analema como envolvente de las líneas de “sombras”.

La figura siguiente es la misma imagen pero sin las líneas de “sombras”, el resultado es una imagen fantástica y evocativa, simple y hermosa que parece guardar un secreto.

La línea segmentada “N-S” representa la meridiana del lugar (Norte-Sur) donde se trazó el Analema y se puede observar fácilmente que la curva está desplazada hacia “E” (Este) debido a que la Ciudad de Puerto Ordaz (Ciudad Guayana) está adelantada (al Este) con respecto al meridiano de referencia -4:30 optado por el País para fijar la Hora Legal. El corrimiento del eje del Analema con respecto a la línea “N-S” se corresponde con los 20’:12’’ de adelanto que tiene Puerto Ordaz con respecto al UTC; como puede observarse, el Analema no intercepta a la línea meridional “N-S” lo que implica que la Hora Solar y la Hora Legal jamás coincidirán para esta ubicación geográfica.

Sobre esta curva podemos colocar algunos datos de interés como se mencionó al inicio del artículo. Los solsticios, los equinoccios, el afelio y perihelio, y los valores de adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Legal en minutos entre otros datos.

La figura nos muestra el Analema con parte de la información adicional.

En el dibujo se puede apreciar que el momento más cercano entre la Hora Solar y la Hora Legal es en el mes de febrero, cerca del día 12 con una diferencia de 5,9 minutos y el momento de máxima disparidad para comienzos de Noviembre con 36,7 minutos de adelanto entre la Hora Solar y la Legal.

La imagen siguiente muestra el Analema superpuesto al cuadrante Solar del reloj Azimutal.

La serie de fotogramas siguientes nos muestran el Analema para un nomon de 100 mm de altura de forma piramidal.

La primera fotografía muestra el momento de “alinear” el eje Norte-Sur del Analema trazado. En una entrada futura se expondrá un método práctico y sencillo para la orientación de los relojes de Sol.

El nomon colocado en el cuadrante horizontal. La sombra nos indica que ya pasó el mediodía Solar como puede apreciarse en la fotografía siguiente.

Momento en que son las 12:00 del mediodía Legal.

La fotografía nos da un detalle de la sombra del nomon sobre el Analema, obsérvese que prácticamente la punta de la sombra del nomon está sobre el punto que representa el día 21, el Solsticio de Verano (el símbolo zodiacal es Cáncer). Las fotos se realizaron a la víspera del solsticio, el día 20 de Junio.

La fotografía siguiente nos muestra la figura del Analema sobre el cuadrante solar del reloj Azimutal.

En esta foto se puede observar la Hora Legal indicada por el reloj del celular y la Hora Solar dada por el reloj Azimutal. El mediodía Legal se lee en el Analema justo cuando la sombra del nomon hace contacto con la figura en el mes correspondiente, además se puede ver claramente la diferencia entre ambas horas, estando adelantado el reloj Solar. El adelanto es aproximadamente de 18 minutos para el momento de la fotografía, dato que no indiqué por omisión sobre el Analema dibujado en el cuadrante Solar.

Con este artículo he pretendido aclarar lo del Analema, su origen, su trazado sobre un cuadrante Solar y como leerlo para establecer la diferencia entre la Hora Solar y la Hora Legal.

Junio 2010.

Nota a modo de fe de errata: En las imágenes y fotos del Analema terminado está colado un “error de imprenta”. Este error es la colocación indebida de los símbolos que marcan los solsticios, de manera que el símbolo de Cáncer está en el lugar que le corresponde al de Capricornio y viceversa.

TUBO DE QUINCKE CASERO

TUBO DE QUINCKE CASERO.

TALLER E INVESTIGACIÓN

Interferómetro de Quincke, interferencia en las ondas sonoras, velocidad del sonido.

Una forma sencilla e ingeniosa de demostrar que el sonido es un fenómeno ondulatorio es por medio del experimento llevado a la práctica por Georg H. Quincke.

El tubo de Quincke, es un dispositivo que permite crear el fenómeno de la interferencia en el sonido, demostrándose de esta manera que tiene un comportamiento ondulatorio, además de que se puede medir con este instrumento la longitud de onda de un tono puro cualquiera y de allí calcular la velocidad del sonido en el aire para la temperatura reinante en el momento de realizar el experimento.

Georg Hermann Quincke (1834-1924) físico alemán que realizó investigaciones sobre los fenómenos de la capilaridad, la floculación, la electroforesis, tensión superficial. Investigó los fenómenos de reflexión óptica en superficies metálicas y la interferencia óptica, construyendo varios instrumentos de medida, como el termómetro acústico, un manómetro magnético y el tubo que recibe su nombre.

Si bien, fue Sir John Herschel (1792-1881) hijo del famoso William descubridor del planeta Urano, quien plantea el experimento y nunca lo lleva acabo, siendo Quincke el que lo ejecuta. La denominación de Tubo de Quincke para el interferómetro es en su honor aunque en oportunidades se le conoce también como tubo de Herschel-Quincke como reconocimiento a ambos científicos.

En esta entrada recrearemos el experimento de Quincke para ser testigos del fenómeno de la interferencia acústica además de establecer la velocidad del sonido en función de la longitud de onda que midamos y de la frecuencia del tono empleado. Experiencia que haremos utilizando nuestras habilidades manuales y auditivas sin recurrir a instrumentos sofisticados como un osciloscopio.

Para el experimento lo primero que necesitamos es el famoso Tubo de Quincke y para ello lo construiremos.

Pero; ¿Qué es el Tubo de Quincke?

Antes de continuar veamos que es y cual es el fundamento de este interesante instrumento.

La figura nos muestra esquemáticamente el diseño del tubo el cual es básicamente dos tubos en “U” unidos por un par de TEE , una de las “U” es móvil a modo de la varilla de un trombón.

Para entender el principio de funcionamiento del tubo de Quincke se debe estar claro que el sonido se produce por la formación de ondas, estas ondas podemos representarlas gráficamente a manera de una función senoidal en donde la distancia entre dos picos o dos valles es la longitud de la onda. Aunque esta función senoidal representa una onda transversal y el sonido es un caso de onda longitudinal, nos sirve como modelo para visualizar el fenómeno de la interferencia.

Ondas en fase. Interferencia constructiva.

Cuando dos trenes de ondas son coherentes y están en fase, la interferencia que se produce al superponerse ambas es la denominada “constructiva”, el resultado final es otro tren de ondas cuya amplitud es la suma de las amplitudes de las dos ondas individuales (figura anterior), en el caso del sonido tendría un aumento del nivel sonoro de un tono. En la medida que las ondas sufren un desfase, la amplitud final resultante va disminuyendo hasta alcanzar un punto en donde ambas ondas se neutralizan y el tono desaparece. Este es el caso de la interferencia “destructiva”.

Ondas en desfase. Interferencia destructiva.

Si observamos las gráficas que representan a las ondas, podemos deducir que la interferencia destructiva presenta su máximo cuando el desfase entre los trenes de ondas alcanza justamente media longitud de onda, es decir un valle se superpone con un pico. Si el desfase se produce a una velocidad determinada escucharemos una ululación creada por la sucesión de altas y bajas en el volumen del tono resultante en la medida que las ondas se desfasan y vuelven a entrar en fase.

Volviendo al tubo de Quincke, si por uno de los extremos abiertos (una de las TEE de unión) colocamos una pequeña corneta que esté emitiendo un tono, el sonido generado debe recorrer las dos mitades del tubo a la misma velocidad, como el recorrido (el perímetro desde la TEE de entrada hasta la TEE de salida) es igual para ambos ramales en “U”, en la TEE de salida percibiremos al tono a su máxima intensidad (volumen), si vamos sacando el tubo móvil poco a poco notaremos que la intensidad del sonido disminuye hasta un mínimo, esto ocurre porque las ondas sonoras que se desplazan por el tubo móvil tienen que realizar un recorrido mayor, de manera que al llegar a la TEE de salida, las ondas de un ramal con respecto al otro están desfasadas, anulándose mutuamente parcial o totalmente. Este es el principio del interferómetro o Tubo de Quincke que permite demostrar que el sonido es un fenómeno ondulatorio por medio de la interferencia.

Para que la experiencia resulte llamativa, se requiere que el tono sea lo más puro posible.

Para construir la versión del Tubo de Quincke de este blog necesitaremos los siguientes materiales fáciles de conseguir en las ferreterías:

Tubo de PVC para agua fría de 21,8 mm (1/2”) 1.300 mm.
Tubo de PVC para agua fría de 27 mm (3/4”) 400 mm.
TEE de PVC para el tubo de ½” 02 c/u
Codos 90° de PVC para el tubo de ½” 04 c/u
Papel de lija 100 01 c/u

Para el armado del interferómetro de Quincke, el tubo de 21,8 mm (1/2”) lo cortamos en ocho segmentos, dos 330 mm de longitud, dos segmentos de 310 mm de longitud y cuatro segmentos de 50 mm de longitud. El tubo de 27 mm (3/4”) lo cortamos en dos trozos iguales de 200 mm como lo muestra la foto siguiente.

Los codos por pareja se acoplan entre sí con los segmentos de tubo de 50 mm de longitud.


A cada tubo de ½” de 330 mm de longitud se le coloca una de las TEE.

Se unen los tubos de 330 mm de longitud con una de las parejas de codos armadas y a cada TEE se les coloca tambien un segmento de tubo de 50 mm, ver foto siguiernte.

En los tubos cortos del ensamble anterior se colocan los tubos de ¾” como lo muestra la fotografía. Si es necesario, usaremos una pega o cola para unir los componentes.

Se necesita que los tubos de ½” que faltan por colocar en el dispositivo deslicen dentro de los tubos de ¾” como lo hace la varilla del trombón, para lograrlo se lija el diámetro externo (con sumo cuidado de manera que el juego sea mínimo) de los tubos de ½” hasta que al ser introducidos dentro de los tubos de ¾” deslicen suavemente, conseguido esto, los tubos de ½” lijados se acoplan con los codos de 90° sobrantes como lo muestra la foto siguiente.

Para terminar con el ensamble del Tubo de Quincke, colocamos la “U” suelta dentro de los tubos de ¾”.

Ya tenemos nuestro interferómetro Herschel-Quincke. El instrumento queda con un largo total de 750 mm (cerrado) y ancho 70 mm entre tubo y tubo. Estas dimensiones (longitud) para el interferómetro se escogieron para que la “U” móvil posea un desplazamiento de unos 20 centímetros, lo que representa algo más que la longitud de onda para un tono a 2.000 Hz.

Como no dispongo de un diapasón, me apoyaré en la tecnología. Emplearé un programa generador de tonos y una pequeña corneta (un audífono para conectar en la PC) para reproducir los tonos dentro del Tubo de Quincke.

La fotografía muestra una de las cornetas del audífono colocada de una de las TEE del tubo de Quincke para proceder a realizar el experimento. Debemos tener la precaución que la corneta no quede al fondo de la TEE para tener mejores resultados.

Para minimizar “la fuga” de sonido por la TEE de entrada, taparemos la boca de entrada de la TEE con la palma de mano o con un tapón de trapo.

Generando un tono a 2.000 Hz a bajo volumen y colocando el oído en el extremo libre a unos 50 centímetros de distancia (con esto evitamos la saturación del oído por el tono experimental) vamos sacando el tubo móvil hasta que el tono disminuya su intensidad lo más bajo posible, si el volumen de reproducción no es muy intenso, el tono prácticamente desaparece. Posteriormente seguimos sacando el tubo lentamente y notaremos que el tono va aumentando de intensidad hasta un máximo. Con esta primera experiencia descubrimos el efecto de la interferencia destructiva y constructiva en el sonido.

Podemos realizar la misma práctica con otros valores de frecuencia y observaremos el mismo comportamiento, de manera que podemos deducir de la vivencia que efectivamente el sonido es un fenómeno ondulatorio.

Repetimos el experimento con la salvedad de que una vez encontrado el punto de mínima intensidad sonora, medimos la longitud del tubo móvil o alguna marca referencial en el mismo. Procedemos a sacar lentamente al tubo móvil hasta llegar nuevamente a un mínimo de intensidad sonora, aquí volvemos a medir la longitud del tubo o la nueva distancia entre las marcas referenciales. La rutina puede realizarse tomando como referencia el punto de máxima intensidad, pero mi experiencia me mostró que este punto es más difícil de establecer, ya que el oído tiende a saturarse impidiendo la ubicación exacta del punto de máximo volumen.

La diferencia de estas mediciones registradas (longitudes entre marcas) se tiene que multiplicar por dos ya que cualquier cambio en la longitud del tubo móvil representa el mismo desplazamiento para cada uno de los ramales de la “U” móvil, lo que implica un recorrido doble para el sonido.

De acuerdo a la expresión matemática que relaciona la longitud de onda con la frecuencia y la velocidad de propagación, se puede calcular o determinar la velocidad del sonido.


Donde “v” es la velocidad de propagación en metros por segundo, “f” la frecuencia en Hertz y lambda la longitud de onda en metros.

Debido a que estamos realizando el experimento con nuestra capacidad auditiva sin ayuda de otro recurso que nuestro oído, debemos realizar una serie de medidas para hallar el valor promedio de los desplazamientos del tubo móvil y así minimizar los errores de medición.

Es de esperar que los resultados no sean precisos, presentándose una dispersión en los valores medidos que serán más notables en unos casos que en otros dependiendo de las habilidades y cuidado con que se ejecute el experimento. Sin embargo nos dará una idea de la velocidad del sonido en el aire y el placer de haber realizado un experimento histórico.

Las mediciones que realicé están expuestas en la tabla siguiente. La temperatura de la habitación donde se realizaron las mediciones rondaba entre 20º y 23º C.

“Lmin” es la longitud entre las marcas de referencias para el primer mínimo de intensidad sonora encontrado, “Lmax” es la longitud registrada al extender el tubo móvil hasta el siguiente mínimo de intensidad, la diferencia entre ambos valores es la longitud de onda a la frecuencia en Hertz correspondiente.

El resultado que obtuve de la velocidad del sonido de 347 m/s (valor promedio) es excelente tomando en consideración que fue una actividad bastante artesanal, la discrepancia con la velocidad del sonido a 20º C (343 m/s) es del 2% aproximadamente.

¿Qué aprendimos de esta experiencia?:

• Que el interferómetro o tubo de Quincke casero es totalmente funcional y no se requieren de equipos muy especializados para las prácticas.
• Que el fenómeno de la interferencia se presenta en el sonido.
• Que el sonido es un fenómeno ondulatorio.
• Que el interferómetro es una herramienta de medición que nos permite medir la longitud de onda de un tono audible.
• Establecer la velocidad de propagación del sonido en el aire de acuerdo a las mediciones realizadas con el tubo de Quincke.

Tecnológicamente este experimento nos permite plantear la posibilidad de realizar “silenciadores” sintonizados para reducir los niveles de ruido en muchas instalaciones industriales como las centrales hidráulicas, ventiladores y motores de combustión interna entre otros.

Un experimento fácilmente realizable, elegante y sencillo que nos permite “percibir” direc-tamente la naturaleza ondulatoria del sonido, sentir los efectos de la interferencia constructiva y destructiva además de entender su “mecánica”, es una experiencia curiosa, didáctica y con un amplio abanico de posibilidades para la creatividad de los jóvenes estudiantes del bachillerato.

EL RELOJ DE SOL BIFILAR

EL RELOJ DE SOL BIFILAR
Construyendo relojes de Sol.

Diseñado por el profesor de matemática Hugo Michnik (Alemania) y publicado en abril del año de 1.922, el reloj de Sol Bifilar tiene la interesante variante con respecto a los demás relojes de Sol que la hora está indicada por el cruce de las sombras de dos alambres (nomon) independientes o varas dispuestas horizontalmente, perpendiculares entre si y paralelas al cuadrante Solar que es del tipo horizontal.

Aunque el diseño original posee el cuadrante Solar horizontal y las varillas perpendiculares entre sí y alineadas con los puntos cardinales, el mismo puede ser desarrollado para cualquier inclinación del cuadrante Solar y disposición de las varas indicadoras de las horas.

Desafortunadamente, no existe mayor información sobre el inventor y no podremos brindarle un mejor homenaje por su invención.

Unas de las cualidades sorprendentes del reloj de Sol Bifilar, es la posibilidad de desarrollar el trazado de las horas de manera que estas queden equiangulares en el plano horizontal, es decir, separadas una de las otras por 15º, de la misma manera como en el reloj de Sol de Cuadrante Ecuatorial. Recordemos que los ángulos horarios del reloj de Cuadrante Azimutal Horizontal ni en el reloj de Sol de Cuadrante Horizontal ya desarrollados no están distribuidos radialmente de manera uniforme, de allí la facilidad de construcción del Cuadrante Solar del reloj Bifilar.

En esta publicación trataremos de desarrollar un reloj de Sol Bifilar de Cuadrante Horizontal y como punto de partida emplearemos la información de base previamente calculada para el desarrollo del reloj de Sol Azimutal de cuadrante Horizontal realizado en una entrega anterior.

Una propiedad que hace del reloj de Sol Bifilar particularmente interesante es que de acuerdo a la separación vertical entre las varillas se logran conseguir diferentes patrones radiales para mostrar las horas sobre el Cuadrante Solar, siendo el más atractivo aquella disposición de las varas que nos permitan obtener un patrón radial de las horas repartidas uniformemente alrededor de un centro y que el ángulo de separación entre hora y hora sea de 15º, separación horaria idéntica a la del Sol en su marcha diurna por el firmamento.

Para entender el funcionamiento de este reloj empecemos por recordar el principio de funcionamiento del reloj de Sol Azimutal, pues en esencia lo que se trata de determinar el la longitud de la sombra proyectada en función del ángulo que forma el Sol con respecto a la horizontal y su dirección que queda determinada por el ángulo que forma el Sol con respecto al meridiano.

Un nomon vertical de longitud “AG” es iluminado por el Sol “S” (Figura 1), proyectando sobre el suelo con una longitud “L” la sombra del nomon, la cual que depende de la altura “a” del Sol “S” sobre el horizonte, orientada con un azimut “Z” en dirección al polo Sur.

La altura del Sol es una función de la hora local donde se encuentra el nomon, de la latitud del lugar y de la declinación del Sol según el día en que se este realizando la observación.

Teniendo a mano los parámetros mencionados, la altura “a” del Sol la podemos encontrar resolviendo la siguiente ecuación de trigonometría esférica empleada para el desarrollo del reloj de Sol Azimutal:

Sen (a) = sen (L) x sen (d) + cos (L) x cos (d) x cos (H)

FIGURA 1

Donde:

l= Latitud del lugar expresado en grados.
d= Declinación del Sol para el día en que se está determinando la altura Solar.
H= El ángulo horario expresado en grados y contados a partir del mediodía.
a= El ángulo de la altura del Sol con respecto al horizonte expresado en grados.

El ángulo azimut del Sol es una función de la declinación del Sol para el momento de su medición, de la altura del Sol sobre el horizonte y del ángulo horario (hora) y podemos calcularlo resolviendo la ecuación de trigonometría esférica siguiente:

Cos Z = [Sen(l) x Sen(a) – Sen(d)] ÷ (Cos(l) x Cos(a))

Donde “d”, “a” y “l” tienen el mismo significado de la fórmula anterior y “Z” es el ángulo azimutal del Sol para ese instante.

La longitud de la sombra se determina resolviendo la ecuación trigonométrica siguiente:

L = AG ÷ Tan(a)

Donde:

L = Longitud de la Sombra.
AG = Longitud del nomon.
a = altura del Sol en grados.

La hora en los relojes Acimutales queda entonces definida por la longitud de la sombra y el ángulo azimut del Sol.

FIGURA 2

Si colocamos una varilla horizontal alineada con el eje Norte-Sur con altura “Hn”, su sombra de la misma manera que la sombra del nomon vertical es proyectada por los rayos Solares de acuerdo a la altura del Sol y de su azimut tal como podemos apreciarlo en la figura 2. La sombra del punto “V” de la varilla se proyecta en el plano horizontal en el punto “W” a una longitud “L” (L = Hn ÷ Tan(a)) partiendo del punto “P” de la línea “V-P” perpendicular al plano horizontal y con ángulo “Z” que es el azimut del Sol. El resultado es la proyección de la sombra de la varilla en el plano horizontal y paralela a la línea Norte-Sur (La varilla es paralela a la línea Norte-Sur en el plano vertical) desplazada en una distancia “X” del eje Norte-Sur.

Para determinar la distancia “X” a la cual se encuentra la sombra de la varilla con respecto a la línea Norte-Sur, tenemos que realizar los mismos cálculos que hicimos para determinar la longitud de la sombra del nomon vertical, en este caso encontraremos la longitud “L” de la línea “P-W”; la longitud de la línea “P-W” es la requerida para los cálculos. Una vez encontrado este valor “L” podemos hallar el valor de “X” de acuerdo al ángulo azimut del Sol “Z” empleando trigonometría plana.

X = L x Sen (Z)

Si la varilla horizontal la giramos 90º de manera que la misma quede paralela a la línea Este-Oeste la Sombra de la misma se proyecta desplazada en un valor “Y” de la línea Este-Oeste como lo muestra la figura 3.

Los cálculos de “a”, “L” y “Z” para este caso son idénticos al anterior, solo cambia la dirección de la varilla. Determinada la longitud “L” del segmento de línea “P-W” para cualquier punto de la varilla, podemos calcular el valor del desplazamiento “Y” con respecto a la referencia Este-Oeste en función del azimut “Z”.

Y = L x Cos (Z)

La longitud “L” para la varilla orientada Este-Oeste se determina por: L = Hs ÷ Tan (a).

FIGURA 3

La figura 4 nos muestra el caso de dos puntos alineados con la vertical pero separados a cierta distancia.

FIGURA 4

Los dos puntos son proyectados en el plano horizontal siguiendo trayectorias paralelas de acuerdo a la altura “a” del Sol, de manera que la proyección (sombra) de los mismos quedan sobre la línea “P-Q” manteniendo el azimut “Z”. Si el punto inferior (G) se desplaza hacia abajo, su sombra (en azul) se acerca a la intersección de la línea vertical con el cruce de las líneas Norte-Sur y Este-Oeste en el punto “P”, aumentando la distancia “L” entre ambas sombras (disminuye el valor de Y). Si el punto “G” sube, la distancia entre las proyecciones disminuye y cuando ambos puntos están a la misma altura, sólo se tendrá una proyección en el mismo lugar que la proyección colorada del punto superior “J” y tendremos el mismo caso del nomon vertical del reloj Azimutal.

Este punto es bueno aclararlo, por que en el reloj Bifilar las varillas están separadas unas de otras como los puntos de la figura 4 y la separación vertical entre ellas define el patrón del trazado de las horas en el Cuadrante Solar.

La figura 5 nos muestra el caso en que están las dos varillas superpuestas, perpendiculares y alienadas con los puntos cardinales, las líneas Norte-Sur y Este-Oeste.

FIGURA 5

La varilla superior (Verde) alineada con el eje “Norte-Sur” está a una altura “Hn” (P-J) del plano horizontal. La luz del Sol proyecta la sombra de esta varilla paralela al eje Norte-Sur y desplazada una distancia “X” tal como lo mostró la figura 2. La varilla inferior (Azul) es perpendicular a la superior y está a una altura “Hs” (P-G) del plano horizontal y su sombra está corrida una distancia “Y” de la línea Este-Oeste como se mostró en la figura 3. Ambas sombras se cruzan en el punto “O” (Figura 5). Si vemos con detenimiento, observaremos que la intersección de las sombras no está sobre la línea de proyección “P-Q” aunque la proyección de los puntos “J” y “G” que están alineados con la vertical pasando por el punto “P” si se proyectan sobre la línea de proyección “P-Q”.

El punto “O” queda entonces definido por las distancias “X” y “Y” en el plano horizontal.

Podemos considerar que en el plano horizontal tenemos un sistema de coordenadas cartesianas en donde el punto “P” es el origen, el eje de las abscisas es la línea Este-Oeste y el eje de las Ordenadas es la línea Norte-Sur.

El punto “P” del plano horizontal es la proyección vertical de los puntos “J” y “G”, es decir, si miramos desde la arriba verticalmente al plano horizontal a las dos varillas, estas se interceptan aparentemente en el punto “P” del plano horizontal y las varillas lo hacen sobre las líneas Norte-Sur y Este-Oeste y es por esta particularidad que podemos imaginarnos el sistema de coordenadas cartesianas en el plano horizontal. La línea vertical formada por los puntos “J”, “G” y “P” es notable y la utilizaremos como referencia para determinar los punto “X” y “Y” del punto “O” sobre nuestro plano cartesiano. El punto “O” es el indicador de la hora Solar del reloj de Sol Bifilar.

Para una hora determinada del día, el punto “O” se encuentra separado del eje Norte-Sur por el valor X1 y del eje Este-Oeste por Y1, lo que implica que este punto “O” tiene por coordenadas (X1,Y1). Al cabo de un tiempo, las sombras se han desplazado copiando en el plano horizontal el desplazamiento del Sol en el firmamento, trasladándose la intersección del punto O al punto O’, el cual queda definido sobre el plano cartesiano por las coordenadas (X2,Y2), tal como lo muestra la figura 6.

FIGURA 6

Podemos suponer que el punto “O” forma parte de una línea recta (verde) que no tiene que pasar necesariamente por el origen “P” de las coordenadas y definida por la ecuación general de las rectas:

Y1 = K1 x X1 + b

En donde “K1” es la pendiente de la recta y “b” el punto en donde esta recta corta al eje de las ordenadas (Norte-Sur) como lo ilustra la figura 7.

FIGURA 7

La pendiente “K1” de la recta está asociada con el ángulo horario, el cual se cuenta a partir del mediodía, que para nuestro plano cartesiano corresponde al eje de las ordenadas Norte-Sur. De manera que la pendiente de la recta toma la expresión:

K1 = Tan (90 - h1)

Pero Tan (90-h1) es igual a CoTan (h1) que a su vez es:

K1 = 1 ÷ Tan (h1)

En donde “h1” es el ángulo horario expresado en grados. Para aclarar, a la 1:00 PM, el ángulo “h1” tendría el valor de 15º, para las 2:00 PM “h1”valdría 30º y así sucesivamente, pero medido con respecto a la línea Norte-Sur, mientras que el ángulo de la pendiente se determina a partir el eje Este-Oeste.

Aplicando el mismo razonamiento, el punto O’ también formaría parte de una recta (en azul) que tendría en común con la anterior el punto de intersección con el eje Norte-Sur, es decir el punto “b” con el fin de obtener una distribución radial de las horas, la posición de O’ está definida por el tiempo “h2”. El ángulo barrido de “h1” a “h2” debe ser de 15º en una hora, ya que estamos buscando una distribución regular del tiempo en el cuadrante Horizontal del reloj Bifilar. Explico, nos interesa que la separación entre recta y recta sea de 15º para obtener un patrón equiangular de las horas en el cuadrante horizontal, por ello las rectas que construyamos tienen que estar relacionadas con el ángulo de 15º por cada hora transcurrida.

La ecuación general para la segunda recta es:

Y2 = K2 x X2 + b

Su pendiente se puede determinar por:

K2 = Tan (90 – h2)

Que es igual a:

K2 = 1 ÷ Tan (h2)

Recordemos por otro lado, que el valor de “X” se encontraba con la expresión

X = L x Sen (Z)

Y “L” por:

L = Hn ÷ Tan(a)

El valor de “Y” se obtiene a partir de:

Y = L x Cos (Z)

Siendo “L” para la varilla Este-Oeste:

L = Hs ÷ Tan(a)

Sustituyendo para la ecuación de la primera línea tenemos:

X1 = Hn x Sen (Z1) ÷ Tan (a1)
Y1 = Hs x Cos (Z1) ÷ Tan (a1)
K1 = 1 ÷ Tan (h1)

Hs x Cos (Z1) ÷ Tan (a1) = Hn x Sen (Z1) ÷ [Tan (a1) x Tan (h1)] + b … (1)

Para la segunda línea:

X2 = Hn x Sen (Z2) ÷ Tan (a2)
Y2 = Hs x Cos (Z2) ÷ Tan (a2)
K2 = 1 ÷ Tan (h2)

Hs x Cos (Z2) ÷ Tan (a2) = Hn x Sen (Z2) ÷ [Tan (a2) x Tan (h2)] + b … (2)

Sin olvidar que: “Z1” y “a1” son el azimut del Sol y la altura del mismo para la hora “h1”… y … “Z2” y “a2” son el azimut y la altura del Sol para la hora “h2”. “Hn” es para ambos casos la altura de la varilla orientada según Norte-Sur y “Hs” la altura en que se encuentra la varilla orientada Este-Oeste.

Si nos fijamos bien, lo que tenemos es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, el valor de “b” y el valor de “Hs”. Escogemos “Hs” como elemento variable que nos permita obtener las horas separadas regularmente en el cuadrante del reloj por medio del ajuste del valor de “Y”. Con el valor de “Hn” que será fijo, determinaremos el tamaño del cuadrante.

Si restamos la ecuación (1) a la ecuación (2) para eliminar “b” obtenemos:

Encontrado el valor de “Hs” o altura de la varilla Este-Oeste indicadora de la hora podemos hallar el valor de “b”, para ello basta con introducir el valor de “Hs” en cualquiera de las ecuaciones anteriores y despejar “b”.


Para reforzar realicemos un cálculo con los datos siguientes:

Hn = 100 mm (Altura de la varilla Norte-Sur)
d = -4,22º (Declinación del Sol para el 1/10/09)
L = 8,27º (Latitud para el reloj de Sol, Puerto Ordaz, Venezuela)
h1 = 15º (11 AM)
h2 = 30º (10 AM)

Calculamos la altura “a” del Sol empleando la formula expuesta al inicio del post.

a1 = 70,511º.
a2 = 57,579º

Hallamos el azimut para cada hora.

Z1 = 50,685º
Z2 = 68,446º

Ahora podemos hallar Hs.

Hs = 14,3 mm (Redondeando)
b = -99 mm (Redondeando)

Como en el caso del reloj Azimutal, podemos simplificar los cálculos recurriendo al empleo de una hoja de cálculo para verificar que se cumplen los valores de “b”, “Hs” y “Hn” para cualquier hora y día del año, sacando las 12 M y las 6 AM y PM por ser casos particulares.

FIGURA 10

Con el valor de “Hn” podemos tener una idea del tamaño de nuestro cuadrante, calculando el valor de “X” para las 7 AM y 5 PM, pues si hacemos los cálculos para las 6 AM nos da un valor negativo y no tiene sentido.

Para encontrar el largo máximo del cuadrante, el cálculo lo hacemos para el primer día de Enero, que el Sol está prácticamente en su máxima declinación hacia el Sur con un valor de -23,01º, son los días con las sombras más alargadas y para Junio las sombras más cortas para el caso de esta latitud de 8,27º. En el cono Sur se invierten los valores.

El valor más grande de “X” con una altura de la varilla Norte-Sur de 100 mm, que corresponde a Enero es de 495 mm. El valor de “Y” nos permite determinar el ancho de nuestro reloj, que de acuerdo a los cálculos de la figura 10 es de unos 51 mm. Esta estrechez se debe a lo próximo que estamos a la línea Ecuatorial y lo cerca al cuadrante en que están las varillas indicadoras.

Con el valor de “b” y de la longitud del cuadrante, podemos hacer la plantilla para el cuadrante Solar del reloj de Sol Bifilar, jugando con la dirección de la proyección de las sombras de manera que la sombra de los soportes no oculte la intercepción de las sombras de las varillas indicadoras de la hora. Por esta razón, el soporte de varilla “N-S” no debe estar sobre el punto de convergencia (b) de las líneas indicadoras de las horas del cuadrante.

Por comodidad, utilicé un programa de diseño por computador, pero esta actividad la podemos hacer con un poco de paciencia con lápiz, regla y compas.
Debido a la longitud de mis varillas indicadoras (390 mm) el cuadrante Solar queda confinado a un cuadrado de 450 mm por 450 mm con el fin de que los soportes de las varillas queden sobre el cuadrante. La figura 11 muestra el aspecto de la plantilla.

FIGURA 11

Debemos tomar la precaución de indicar sobre el cuadrante Solar la posición de las bases de los soportes de las varillas indicadoras para garantizar durante el armado del reloj que las mismas queden en la posición correcta. En la figura 11, las marcas en forma de cruz indican el lugar de los soportes para las varillas.

Aunque en las tiendas especializadas con materiales para la realización de maquetas podemos encontrar varillas metálicas o de material sintético del diámetro que queramos y de buena longitud, para el reloj que estamos realizando utilizaremos como varillas indicadoras el alambre de un par de ganchos de ropa como lo muestra la figura siguiente.

FIGURA 12

El alambre a utilizar lo picamos con un alicate o alguna cizalla del gancho y corresponde a la parte recta por donde se cuelgan “los pantalones”, este tiene un diámetro de 2,2 mm con una longitud de 390 mm como lo muestra la figura 13.

Evidentemente estos alambres no estarán perfectamente rectos, pero utilizaremos los más rectos que encontremos o/y tratando de enderezarlos lo mejor que podamos. La falta de rectitud induce errores en la indicación del tiempo.

FIGURA 13

Como nota aclaratoria, los alambres que se utilicen no deben ser muy largos para impedir que se curven por su propio peso ya que esto produciría un error de construcción en el reloj.

Las bases al igual que el cuadrante de este reloj las haremos a partir de cartón de construcción de 2 mm de espesor y deben tener la forma adecuada para que el alambre se sostenga por si sólo y se centre, la mejor solución es hacerlas de manera que la zona de contacto o de apoyo del alambre sea triangular como lo muestra la figura 14.

FIGURA 14

Con respecto a la altura del soporte, debemos considerar que los cálculos se hacen para el eje de la varilla sin considerarse el diámetro de la misma. No tomarse en cuenta este detalle se estaría introduciendo otro pequeño factor que influiría sobre la indicación de la hora, no obstante podemos omitir este detalle si nuestro alambre es delgado como el empleado de 2 mm o tomarlo en cuenta si nos gustan los desarrollos geométricos para determinar la “V” de apoyo para el alambre en función de la altura Hn y/o Hs.

La figura 15 muestra el plano para la plantilla que emplearé para el soporte del alambre “N-S” y altura 100 mm (medido desde el centro del diámetro del alambre), en este caso el ángulo escogido para la “V” del soporte es de 45º, aunque puede ser cualquier ángulo y el ancho de base es de 30 mm y arriba en los picos de la “V” 10 mm.

FIGURA 15

La figura 16 corresponde al plano para la plantilla del soporte de la varilla “E-O” con altura de de varilla de 14,4 mm.

FIGURA 16

La asimetría tan marcada entre ambos soportes se debe a la latitud del lugar, que para este diseño es 8,27º N.
El aspecto esperado del reloj Bifilar proyectado una vez ensamblado está mostrado en la figura 17.

FIGURA 17

Las fotografías siguientes nos muestran la realización práctica del reloj de Sol Bifilar.

Plantilla del cuadrante Solar.

Pegando la plantilla del cuadrante Solar sobre el cartón base de 2 mm de espesor.


Cortando el excedente de cartón.


Plantillas de los soportes pegados al cartón base de 2mm.


Soportes recortados.




Colocando los soportes de las varillas sobre el cuadrante. Obsérvese que los soportes van sobre la “cruz” indicadora.


Aspecto del reloj Bifilar armado.


Con el reloj ya armado, salimos a un lugar despejado y lo orientamos adecuadamente.

Hora Solar 8:30 AM


Obsérvese que la hora queda indicada por el cruce de las sombras, 8:30 AM (Hora Solar).


Reloj Bifilar y reloj Polar.


Podemos apreciar que nuestro reloj Solar funciona a la perfección y era lo esperado de acuerdo al estudio teórico realizado más arriba.

Los análisis realizados por el profesor Hugo Michnik simplifican las fórmulas empleadas en este blog, de manera que la separación entre las varillas para obtener una graduación regular de las horas en el cuadrante Solar cumple con la fórmula Hs = Hn x Sen(L) y la distancia “b” con la ecuación b = Hn x Cos(L). Si comparamos los resultados obtenidos para Hs y b, veremos que son los mismos de acuerdo a las fórmulas simplificadas.

Con esta realización, hemos desvelado el “secreto” del reloj de Sol Bifilar al mismo tiempo que nos muestra la ingeniosidad del hombre por explorar todas las posibilidades para cada una de sus invenciones técnicas, no limitándose a un solo diseño o modelo de artefacto sino buscando y agotando todas sus posibilidades. En realidad se trata de un acto de perseverancia, de inquietud, de curiosidad y de invención que es lo que ha permitido al Ser Humano llegar al desarrollo actual de la técnica, la tecnología y de la ciencia.

Puerto Ordaz Diciembre 2.009