CÁLCULO DEL PAR DE APRIETE O TORQUE DE UN TORNILLO.

CÁLCULO DEL PAR DE APRIETE O TORQUE DE UN TORNILLO.

Fórmulas para el torque. Material de los tornillos a varias temperaturas. Coeficientes de roce.

Eventualmente se nos presenta el caso de tener que “torquear” un tornillo en particular que no está dentro de las tablas de torques convencionales disponibles, bien sea por el diámetro del tornillo o por el material del mismo. En estos casos no nos que da más remedio que realizar nuestros propios cálculos para determinar el valor del par de ajuste o “torque teórico” requerido por nuestro nuevo caso.

Esta situación se me presento en muchas oportunidades trabajando en un taller mecánico de reparación de cilindros hidráulicos para la industria siderúrgica en donde se necesitaba en muchas oportunidades determinar los valores de ajuste para tornillos de hasta 95 mm de diámetro o determinar los valores de apriete para temperaturas por encima de los 100° C. Por otro lado debido a la gran variedad de tornillos empleados durante las reparaciones de más de 4.000 cilindros hidráulicos según las estadísticas del taller fue necesario realizar una serie de tablas con valores teóricos que coincidieran con las tablas de torques disponibles en el taller, las cuales no cubrían a los tornillos por encima de 42 mm de diámetro. De esta experiencia quedé claro que el cálculo del torque de un tornillo no es tan simple como aparenta.

Si bien es cierto que el método más popular para el ajuste de tornillos y tuercas es por medio del control del par de apriete o torque debido a su sencillez y economía, también es uno de los métodos más inciertos en cuanto a la garantía de la fuerza de unión en un ensamble apernado.

El control del par de apriete se consigue normalmente ajustando un torquímetro a un valor especificado bien sea por el fabricante del equipo o por los valores indicados en las tablas de torques. Recordemos que el torquímetro no mide la tensión o precarga en el tornillo sino el valor del par aplicado. Valor este que es prácticamente producto de la fricción entre los flancos de las roscas tornillo-tuerca y del roce entre la cabeza del tornillo y su arandela, solamente el 10% del torque total de ajuste aplicado corresponde a la generación de la fuerza de precarga. El problema de este método se presenta cuando es utilizado indiscriminadamente sin tomar en cuenta la aplicación de la unión apernada.

En la literatura técnica podemos encontrar una fórmula empírica muy simple que nos relaciona el par de ajuste con la fuerza de precarga generada por el tornillo en función del diámetro del mismo y de una constante de proporcionalidad adimensional.

Esta sencilla ecuación válida en la zona elástica del material del tornillo es:

MA = K x d x FM …. [1]

En donde “MA” es el par o torque aplicado al tornillo (N.m, lbs.in), “d” es el diámetro nominal del tornillo (mm, pulg), “FM” es la precarga del tornillo (N, lbs) y “K” la constante de proporcionalidad que normalmente se determina experimentalmente.

Este factor “K” se le denomina con frecuencia como “factor de tuerca” con un valor muy bajo parecido al del coeficiente de fricción, sin embargo no debe confundirse el factor “K” con el coeficiente de fricción estático del material.

La tabla siguiente muestra los valores típicos del factor “K” para tornillos de acero.

La ecuación anterior puede emplearse siempre y cuando el valor de “K” esté correctamente determinado por el usuario. Sin embargo la experiencia a demostrado que asumir un valor de “K” es arriesgado de acuerdo a la aplicación del tornillo y no debe sobre-estimarse la importancia del torque de apriete en aquellos elementos críticos de gran responsabilidad.

De la fórmula MA = K x d x FM, el valor de la precarga “FM” del tornillo se determina a partir del valor de tensión a la tracción admisible sobre el material del tornillo que en la mayoría de los casos se basan en el 90% del valor del punto de fluencia proporcional “Rp” o límite elástico inferior “ReL” para los tornillos métricos y entre el 70% y 90% de la tensión de prueba para los tornillos imperiales.

Por ejemplo, un tornillo de calidad 5.6 posee un valor Rp = 30 N/mm2 (nominal) con lo que el cálculo de la fuerza de precarga se realiza con el 90% de este valor, es decir con 27 N/mm2 de tensión.

La fórmula para determinar la fuerza de precarga para el caso del 90% del límite de fluencia (Rp o ReL) del material del tornillo es:

FM = 0,9 x Rp x As …. [2]

Para efectos del cálculo de la fuerza, el área que se emplea para determinar el valor de la tensión es la sección resistente nominal de la rosca, la cual se calcula por:

…. [3]

Donde:

As = área o sección resistente efectiva.

d2 = diámetro primitivo de la rosca. (ISO 724)

d3 = diámetro de núcleo de la rosca.

Los valores de d2 y d3 se consiguen en las tablas de las roscas.

Como d2 y d3 dependen del paso y del perfil de la rosca, la sección resistente para los tornillos métricos se puede determinar por:

…. [4]

Donde “d” es el diámetro nominal de la rosca del tornillo y “P” el paso de la rosca.

La norma VDI 2230 expone un grupo de fórmulas más extensas y complejas en donde se relacionan la geometría del tornillo y del agujero, el material, los coeficientes de fricción rosca-rosca y cabeza-asiento permitiéndonos calcular los valores de torque para cualquier tipo de tornillo.

Estas formulas parten del principio que el par de ajuste o torque aplicado total para crear la precarga del tornillo es producto de la suma de los pares parciales creados por la fricción tanto de la rosca como de la cabeza del tornillo.

MA = MG + MK …. [5]

“MG” es el par o torque generado por la rosca y “MK” el momento producido por la fricción por la cabeza o la tuerca del tornillo producto de la fuerza de precarga “FM”.

El momento de ajuste que se origina por la precarga sobre la rosca se puede determinar, prescindiendo del desarrollo analítico, por medio de la fórmula:

…. [6]

Donde:

MG = Momento o par aplicado en la rosca.

FM = Fuerza de precarga sobre la rosca.

d2 = diámetro primitivo de la rosca.

P = Paso de la rosca.

uG = Coeficiente de roce rosca-rosca.

El número 1,155 es la secante del semi-ángulo del flanco de la rosca. Para la tortillería métrica el ángulo del flanco de la rosca es de 60°. De aquí que; Sec (60/2) = 1,155 redondeando.

El par creado por el roce en la cabeza del tornillo se determina por:

…. [7]

Donde:

MKR = Momento o par aplicado en la cabeza del tornillo o en la tuerca.

FM = Fuerza de precarga sobre la cabeza o tuerca.

DKM = Diámetro medio de fricción del área anular de deslizamiento de la cabeza o de la tuerca.

uK = Coeficiente de roce de la cabeza o tuerca contra el asiento.

El diámetro medio de deslizamiento “DKM” se determina por:

…. [8]

En donde “dW” es el diámetro de asentamiento de la cabeza o de la tuerca que aparece en las normas sobre los tornillos y es aproximado al hexágono de la tuerca o cabeza del tornillo (dW = s) o el diámetro de la cabeza para los tornillos allen y “dh” es el diámetro del agujero donde asienta la cabeza o la tuerca, normalmente grado medio según DIN 69.

Sumando ambas expresiones nos queda que el torque de ajuste se determina por:

…. [9]

Las letras que se emplean en las formulas se corresponden a las indicadas en la norma VDI 2230.

Esta última fórmula nos permite determinar el par de apriete aplicado al tornillo o a la tuerca para conseguir el valor de la fuerza de precarga en función de los parámetros físicos y mecánicos del tornillo como la rosca, el agujero de asentamiento de la tuerca o la de la cabeza, del coeficiente roce entre los materiales de fabricación de la unión apernada y del paso de la rosca.

Es interesante observar que la expresión encerrada en el paréntesis de la fórmula [9] al ser dividida por el diámetro nominal “d” de la rosca se obtiene el valor del factor de tuerca “K” empleado en la fórmula [1]:

…. [10]

La fuerza máxima de precarga sobre el núcleo del tornillo dentro de la zona elástica del material se consigue cuando las tensiones originadas por la precarga alcanzan el valor del punto de fluencia del material o el punto de proporcionalidad Rp0.2. Esta tensión final o reducida está definida por la presencia simultánea de tensiones de tracción producto de la precarga y de tensiones de corte por torsión causadas por el par de apriete.

De acuerdo a las teorías sobre la resistencia de los materiales cuando una barra está sometida a esfuerzos combinados, la tensión resultante se calcula por:

…. [11]

Sin tomar en cuenta la demostración analítica, de la fórmula [11] se deduce que la fuerza de precarga “FM”, se calcular por:

…. [12]

La sección resistente “AS” o el área efectiva del tornillo sometido a los esfuerzos y se determina por medio de la fórmula [3] la cual puede escribirse:

…. [13]

y “dS” se determina por:

…. [14]

El número contante de 0,9 es el indicador del 90% del punto de fluencia, este valor puede ser sustituido de acuerdo a la aplicación del tornillo por otro valor.

Con las fórmulas [9] y [12] ya estamos en capacidad de calcular la fuerza de precarga y el par de ajuste aplicado para cualquier unión apernada o elaborar nuestras tablas de torque según nuestras necesidades.

Para aclara un poco más el uso de las fórmulas [9] y [12] calcularemos la precarga y el torque o par de ajuste necesario para un tornillo hexagonal DIN/EN/ISO 4014; M 30 rosca gruesa calidad 8.8, laminado, pavonado y montado en seco sin lubricación a 20ºC.

Parámetros del tornillo M 30:

Paso = 3,5 (Según norma)

d2 = 27,727 (Según norma)

d3 = 25,706 (Según norma)

dW = 42,75 (Según norma)

Rp02 = 660 N/mm2. (Calidad 8.8 y d<16 a 20° C, Norma ISO 898. Ver tabla al final)

uG=uK = 0,12 (Ver tablas al final del artículo)

dS = 26,7165 Cálculo por [14]

AS = 560,595 Cálculo por [3]

dh= 33 (Por norma DIN 273 grado medio – Agujero)

DKM = 37,875 Cálculo por [8]

Resolviendo la fórmula [12] obtenemos el valor de precarga:

FM = 300 kN

Con el valor de la precarga calculamos el par de ajuste requerido por medio de la ecuación [9]:

MA = 1.425 Nm

Otro ejemplo:

Tornillo hexagonal M8 rosca gruesa calidad 12.9 según DIN/EN/ISO 4014, lubricado con aceite durante el montaje.

Paso = 1,25 (Según norma)

d2 = 7,188 (Según norma)

d3 = 6,466 (Según norma)

dW = 11,63 (Según norma)

Rp02 = 1.100 N/mm2. (Calidad 12.9 a 20° C, Norma ISO 898. Ver tabla al final)

uG=uK = 0,1 (Ver tablas al final del artículo)

dS = 6,827 Cálculo por [14]

AS = 36,61 Cálculo por [3]

dh= 9 (Por norma DIN 273 grado medio – Agujero)

DKM = 10,315 Cálculo por [8]

Resolviendo la fórmula [12] obtenemos el valor de precarga:

FM = 32,8 kN

Con el valor de la precarga calculamos el par de ajuste requerido por medio de la ecuación [9]:

MA = 37,1 Nm

Podemos comparar estos valores con los indicados por la tabla de la VDI expuesta en la entrada ¿Cómo manejar las tablas de torques?, los valores son muy próximos.

Si efectuamos los mismos pasos para un tonillo hexagonal M8 rosca fina y calidad 12.9 obtendremos los valores siguientes:

FM = 35,6 kN

y

MA = 39,2 Nm

Podemos confirmar que los tornillos rosca fina son capaces de generar mayores precargas y admiten mayor par de ajuste que los rosca gruesa o normal, quedando en evidencia la razón principal por la cual las tablas de torques no son “extrapolables” a los diferentes tipos de roscas o de normas de fabricación de los tornillos. Para cada caso existen las respectivas tablas.

Debo advertir que estos resultados se consideran válidos solamente para tornillos nuevos y que cumplan con los parámetros indicados por las normas pues en caso contrario se pueden “sobre torquear” a los tornillos. Se insiste en tornillos nuevos ya que se ha comprobado que el coeficiente de roce varía fuertemente al ser ajustado y aflojado en varias oportunidades un tornillo, observándose variaciones del coeficiente de roce en un factor de al menos 3. Esta es una de las razones por la cual se recomienda siempre no reutilizar la tornillería y la misma debe ser cambiada cada vez que se desmonte la unión, más aún, debido al uso del tornillo, a las imprecisiones durante el ajuste, a las fuerzas de trabajo y al hecho de que se utilizan al 90% del punto de fluencia, no es extraño que el mismo al ser desmontado ya esté “sentido”.

Es oportuno también recordar que este cálculo como lo mostré es valido para uniones metal-metal, sin juntas blandas de por medio en donde esto debe considerarse al igual que la aplicación. Por ejemplo, se dice que el par de ajuste de los tornillos para las torres eléctricas es aproximadamente la mitad del calculado con el único fin de evitar que la capa de recubrimiento galvánico de la estructura se agriete al ajustar los tornillos. En fin cada caso debe ser estudiado.

Como aclaratoria final, cuando se emplea un torquímetro el valor del torque aplicado en el tornillo va ha depender de la velocidad con que se realiza el ajuste, indicándonos prematuramente el instrumento que llegó al valor de ajuste cuando este se realiza rápidamente, de manera que los valores de torque más cercanos al indicado por el instrumento se obtiene efectuando un apriete lento y continuo. Se suele recomendar cuando son varios tornillos realizar el torqueado en CRUZ o “X” y comenzando con un porcentaje del valor final requerido, como por ejemplo ajustando primero a un 30% los tornillos, luego al 60% y por último al 100% del torque requerido. Con esto se obtiene una mejor garantía del ajuste final de la tornillería.

Las cuatro tablas siguientes nos muestran algunos datos necesarios de conocer a la hora de “torquear” un tornillo, como es la reducción de la capacidad de carga del material en función de la temperatura de trabajo, la resistencia del material y el roce.

Coeficientes de roce en la cabeza.

Coeficientes de roce en la rosca.

Material de los tornillos de acero.

Límite de fluencia en función de la temepratura.

Espero que esta entrada sea de utilidad a quienes están buscando información sobre el par de ajuste o torqueado de los tornillos en función de sus parámetros mecánicos y del material.

RELOJ DE SOL POR REFLEXIÓN O CATÓPTRICO.

RELOJ DE SOL POR REFLEXIÓN O CATÓPTRICO.

Reloj de Sol Catóptrico Ecuatorial.

Construyendo Relojes de Sol.

Así como el reloj de Sol de Difracción, el reloj Solar por reflexión sustituye la sombra indicadora de la hora del nomon por un rayo de luz. Esta particularidad nos permitiría agrupar a este par de relojes de Sol en un conjunto que bien podría denominarse “Relojes de Sol Invertidos”. La denominación de este tipo de relojes por reflexión se conoce desde la antigüedad como relojes Catóptricos ya que el arte o la ciencia que estudia la reflexión de la luz se denomina Catóptrica.

En esta entrada intentaremos elaborar un reloj “Catóptrico” de cuadrante Ecuatorial a partir de un espejo plano, el cual reflejará la luz del Sol a modo de “aguja luminosa” que pivotando en el centro del cuadrante al ritmo de la naturaleza nos indicará la hora verdadera.

Como primer proyecto y ensayo a la vez, este reloj de Reflexión está basado en los relojes de cuadrante Ecuatorial, por ser este tipo de relojes los más fáciles de hacer sin necesidad de recurrir a complejas fórmulas ni a las coordenadas celestiales y horizontales, pues, basta con tener claro lo concerniente a los cuadrantes Ecuatoriales en donde la divisiones de las horas se consiguen por simple división del cuadrante en ángulos iguales uniformemente repartidos alrededor del centro del mismo que es donde nace el nomon.

Para entender el principio de funcionamiento de este reloj de Reflexión Ecuatorial, recordemos que los relojes de Sol de Cuadrante Ecuatorial copian a la perfección el movimiento diurno del Sol en la esfera celeste independientemente de la estación del año en que nos encontremos. Se puede demostrar fácilmente con la geometría de bachillerato que para efecto del reloj de Sol de cuadrante Ecuatorial, el Sol “gira” alrededor del nomon en la medida que transcurre el día, de manera que la sombra del estilo o nomon realiza el recorrido angular de 15° por cada hora transcurrida. Esta demostración geométrica se la dejo al lector como un pequeño ejercicio mental.

En este diseño de reloj de Sol de Reflexión de cuadrante Ecuatorial, el estilo es sustituido por un estrecho espejo plano, de manera que la luz “rebotada” proyecta una franja de luz sobre el cuadrante solar que pareciera surgir del origen de las líneas horarias. Como el espejo posee su superficie reflectora mirando al cielo y paralela al eje del mundo, la luz reflejada reproduce de forma especular el movimiento que haría la sombra del estilo sobre el cuadrante.

Debido al diseño conceptual del reloj, el mismo contempla un cuadrante solar graduado por ambas caras y que puede ser colocado en una de las dos posiciones preestablecidas sobre el soporte en función de la época del año, el soporte del cuadrante es también el soporte del espejo plano y su forma garantiza el paralelismo del espejo con el eje de rotación de la Tierra y del cuadrante con el ecuador celeste. Sobre el espejo se colocará una máscara para dejar al descubierto una estrecha franja reflectora y de esta manera generar la aguja de luz que marcará la hora.

El reloj de Sol de Reflexión que estamos diseñando está ubicado dentro del Trópico de Cáncer, por tal motivo, el Sol en su deambular anual recorre la bóveda celeste en dirección Norte-Sur pasando por el cenit, de manera que en los meses de Enero, Febrero, Marzo, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre y parte de Abril, el Sol se encuentra al Sur iluminando la cara del cuadrante solar que mira a esa dirección, mientras que en los meses de Abril (parte), Mayo, Junio, Julio y Agosto el Sol es encuentra al Norte iluminando la otra cara del cuadrante solar. Esta es la razón del porqué se requiere que el cuadrante Ecuatorial esté graduado por ambas caras y porqué ocupa dos posiciones diferentes según esté el Sol al Norte o al Sur.

Las imágenes siguientes nos muestran al reloj de Sol con el cuadrante solar colocado para el período en que el Sol se encuentra al Norte y la posición para la época en que el Sol está al Sur respectivamente.

Para este pequeño proyecto se empleó un espejo sobrante del Calidoscopio mostrado en otra oportunidad; las dimensiones del espejo plano son 25 x 3 x 120 mm.

Debido a las pequeñas dimensiones del espejo, el reloj es de dimensiones modestas y el mismo está diseñado para hacerlo con cartón de construcción de 2 mm de espesor, material que he utilizado para la realización de todas las demás maquetas de los diferentes tipos de relojes de Sol mostrados en este Blog.

La imagen siguiente muestra los planos dimensionales de los diferentes componentes del reloj de Sol de Refracción.

Las figuras siguientes muestran las plantillas del reloj de Sol.

Los elementos identificados como “soporte reloj”, son los encargados de recibir al cuadrante Ecuatorial solar y fijarlo con la inclinación con respecto a la vertical igual a la latitud del lugar, los componentes denominados “soporte de espejo” van en las caras internas del soporte reloj entre las ranuras para el cuadrante, sobre estas piezas es que se fija el espejo que nos servirá de nomon luminoso. La profundidad de las ranuras para recibir al cuadrante Solar contempla el espesor del vidrio del espejo con el fin de que el centro del cuadrante coincida con la cara platinada. Sobre el espejo se colocará la “mascara” para permitir solamente la reflexión de un estrecho haz de luz, que se proyectará sobre el cuadrante Ecuatorial. El espesor de la mascara debe ser lo menor posible y en mi caso empleé únicamente papel bond.

Mejor que las palabras, la serie de fotografías siguientes nos muestran paso a paso el proceso de fabricación y armado del reloj de Sol por reflexión.

Plantillas del reloj pegadas al cartón de construcción.

Piezas recortadas y listas para ensamblar.

Espejo.

Armado del soporte reloj y colocando soporte del espejo.

Soporte con el espejo colocado.

El espejo con la máscara de papel.

Vista lateral de reloj mostrando la inclinación del cuadrante Solar.

Hora solar, las 11:00 AM

Reloj de Reflexión Ecuatorial junto al reloj de Sol Ecuatorial.

El reloj diseñado acá está calculado para la Ciudad de Puerto Ordaz (Latitud norte de 8,27°), por lo que para otras latitudes el ángulo indicado en los planos de 8,27° debe ser sustituido por el del lugar donde se colocará este pequeño reloj de Sol por reflexión.

Durante el seguimiento de las horas indicadas por el reloj de Sol por reflexión, pude notar que el mismo no puede dar la hora por debajo de las 10:30 AM o por arriba de la 1:30 PM aproximadamente, ya que la “aguja” indicadora de luz deja de ser visible. Este defecto tiene su origen en el espejo utilizado y es un comportamiento no previsto durante el diseño (error de principiante) del reloj por estar centrado en la idea principal y obviando algunas consideraciones. No obstante, la práctica marca la pauta y nos da la oportunidad de mejorar las futuras construcciones al mismo tiempo que incentiva la búsqueda de la causa de los errores cometidos o de las deficiencias en los análisis realizados.

Al trazar la trayectoria de los rayos de luz reflejados, rápidamente caemos en cuenta de la causa de la falla. El espejo utilizado es de los normales de vidrio en donde el platinado está en la parte inferior, de manera que a partir de cierto ángulo de incidencia la luz rebotada es interceptada por la máscara que está en el vidrio sobre el espejado. La máscara se encuentra 3 mm por encima de la capa reflectora lo que limita fuertemente el ángulo horario barrido por la aguja luminosa como lo muestra la figura.

A pesar de este detalle perturbador, el reloj mostró su principio de funcionamiento basado en la reflexión de la luz Solar. El diseño puede ser mejorado notablemente si empleamos un espejo cuya capa platinada esté en la superficie superior (no lo pude conseguir) y no en la inferior como el espejo empleado.

Si bien en esta entrega intentamos el desarrollo de un reloj Catóptrico de cuadrante Ecuatorial por su simplicidad, su funcionamiento nos abre una pequeña brecha que nos permite entrever las posibilidades de diseño para este tipo de relojes Solares por reflexión, dejando en manos de los lectores el desarrollo creativo de los mismos.

INSERTANDO UN ARCHIVO MACROMEDIA FLASH (*.SWF) EN POWERPOINT.

INSERTANDO UN ARCHIVO MACROMEDIA FLASH (*.SWF) EN POWERPOINT.

Resolviendo el problema de insertar animaciones FLASH.

En más de una oportunidad he querido insertar dentro de una presentación de POWERPOINT un “video” realizado en FLASH con resultados negativos, teniendo que recurrir al “truco” de correr la animación FLASH y hacer una grabación de la pantalla.

Aunque este procedimiento es funcional también está muy limitado, ya que lo que se muestra en la presentación es la copia de la animación como tal sin opción de utilizar la animación con todo su potencial.

Aunque realicé varias búsquedas en Internet, los procedimientos mostrados no me funcionaron, tal vez por falta de claridad en algún paso o por mala interpretación del contenido de los artículos que dan las explicaciones de cómo hacerlo.

Este problema felizmente resuelto es el motivo para la creación de esta entrada con la intención de facilitarle aún más el procedimiento a aquellos que como yo no logramos el objetivo por alguna razón.

Mis presentaciones la he venido realizando en PowerPoint 2007 por la mayor flexibilidad que posee esta versión sobre la 2003, de manera que la explicación que doy es para la versión 2007, sin embargo, es aplicable también al PPT 2003 desde su entorno.

Para evitar el primer inconveniente hay que tener instalado el reproductor de FlashPlayer. Si tenemos dudas al respecto lo bajamos e instalamos desde la página WEB de Adobe.

Al abrir PowerPoint 2007, verificamos si está una pestaña en el cintillo de opciones con el nombre de “PROGRAMADOR” como lo muestra la imagen siguiente.

De no estar la pestaña, presionamos el botón grande (arriba a la izquierda) donde está el logotipo de OFFICE y en la ventana que se abre le damos “click” al botón de “Opciones de PowerPoint”, en la ventana emergente marcamos la casilla “Mostrar Ficha Programador en la cinta de Opciones” aceptamos y debe aparecer la pestaña de “PROGRAMADOR”.

Con el archivo PPT abierto le damos a la pestaña “PROGRAMADOR” y en ella, en el cuadro de “CONTROLES” le damos un “clic” al ícono que posee un martillo cruzado con una herramienta, se abrirá una ventana con una lista de controles y buscamos “Shockwave Flash Object”. La imagen nos muestra lo descrito.

Le damos al botón “Aceptar”, el cursor toma la forma de cruz y con ella trazamos un cuadro, el cual tendrá una “X” que lo atraviesa.

Con el cuadro marcado pulsamos al botón de “PROPIEDADES” y en la ventana que aparece en la casilla de “Playing” colocamos “True”, en la casilla de “EmbedMovie” cambiamos la opción de “False” a “True”.

En la casilla “Movie” colocamos la URL completa de la animación que queremos insertar. La dirección URL tiene que contener el nombre del archivo de la animación que queremos en la presentación. Recordemos que en la dirección URL el archivo de la animación debe tener por extensión “swf”

Hecho esto cerramos la ventana y le damos a “F5” para ver la presentación, debe aparecer la animación Flash con todos sus controles y botones activos. La animación sólo corre bajo el modo de presentación.

Puede darse el caso en que tengamos la URL de la animación y sin embargo en ella no se vea la extensión “swf” del archivo, si esto ocurre la animación FLASH no correrá en nuestra presentación. La manera como he resuelto esta situación es buscando la animación FLASH en la carpeta de temporales de internet y correrla desde allí para copiar la URL correcta.

Para localizar el archivo de la animación que nos interesa en la carpeta de “archivos temporales de Internet”, entramos en “Opciones de internet” desde el Panel de Control o desde las “Herramientas” del Explorador de Internet. En la ventana que se abre, en la pestaña de “General” le damos “clic” al botón de “Configuración” del “Historial de exploración”, le damos a “Ver archivos” y se abre una ventana en donde están todos los archivos abiertos y guardados en la carpeta “archivos temporales de Internet”, allí buscamos la animación que es posible que no tenga la extensión SWF, para localizarlo nos guiamos por el nombre que aparece en la URL donde está la animación y buscamos en la pestaña que dice “Tipo” el que tenga la descripción “Shockwave Flash Object”, allí se puede ver la dirección URL o le damos doble “click” al archivo para qué corra, debe abrirse una página WEB con el video o la animación solamente. Copiamos la URL y la insertamos en la presentación como ya se describió.

Otra opción para insertar una animación FLASH consiste en buscar el archivo de la animación que nos interesa montar en la presentación de PowerPoint y copiarlo en una carpeta del disco duro.

Efectuando los pasos anteriores para encontrar el archivo de la animación en la carpeta de “temporales de Internet”, buscamos el archivo con extensión “swf”, si no tiene la extensión “swf” como el caso ya comentado, no correrá la animación en la presentación, si tiene la extensión, lo copiamos en la carpeta que nos interese o en la misma donde estará el archivo PowerPoint.

Para insertar la animación copiada en el disco duro se realizan todos los pasos ya descritos desde la primera imagen, pero en la casilla “Movie” colocamos la ruta en donde está el archivo “SWF”, por ejemplo: C:\Presentacion\Detalles\calculos\animacion.swf. Cerramos el cuadro y pulsamos “F5” para ver la animación.

He probado una presentación PPT con la animación insertada en otros computadores en donde no está el archivo copiado tanto en PowerPoint 2007 como en el 2003 (modo compatibilidad) y la animación ha corrido perfectamente, indicándome que no es necesario arrastrar consigo el archivo SWF de la animación junto con la presentación en PowerPoint.

Tengo la esperanza que este pequeño post pueda cumplir su función con algún Internauta, que como en mi caso no haya logrado insertar una animación Flash en su presentación PPT.

HOJA DE CÁLCULO EXCEL, ALGO DE QUÉ PREOCUPARSE.

HOJA DE CÁLCULO EXCEL, ALGO DE QUÉ PREOCUPARSE.
¿Fallas en EXCEL?....... ¿Problemas de cálculos?...... ¿Errores numéricos?...

Las hojas de cálculo siempre se vendieron como herramientas informáticas muy versátiles y útiles que permiten el manejo de una gran cantidad de números y de fórmulas con la facilidad de efectuar cálculos repetitivos de manera irreprochable bajo la garantía y seriedad del creador del software.

Debido a esta ventaja he venido utilizando la hoja de cálculos EXCEL de Microsoft, tanto la versión 2003 como la versión 2007.

Durante el desarrollo del Analema para la publicación en el Blog del artículo “TRAZANDO EL ANALEMA”, me apoyé en este programa para realizar una serie de cálculos repetitivos (más de 576) de geometría esférica de manera “mecanizada” con el fin de disminuir el esfuerzo manual y mental que este tipo de repetición crea.

La idea era determinar la longitud y azimut de la sombra que debería generar una varilla vertical con el fin de establecer los puntos para generar el Analema Solar, tal como se vería al proyectarlo en un cuadrante Solar horizontal.

Durante el trazado de las líneas para generar el Analema, pude observar que la figura presentaba unas irregularidades, verificando varias veces los resultados de EXCEL y el trazado de las líneas con el programa de diseño asistido no me quedo más remedio que apelar a la calculadora de bolsillo para verificar, realizando los cálculos en los puntos en donde se observaba la irregularidad con la idea de encontrar un error en las tablas y datos que utilizaba en la hoja de cálculo. Los resultados obtenidos con el procedimiento manual diferían hasta en cuatro dígitos (en mi caso eran grados de inclinación) con respecto a los valores arrojados por la hoja de cálculos. Por más que lo intenté no logre dar con la causa de la discrepancia y llegue a la conclusión que la misma tal vez se debía al redondeo empleado por la hoja de cálculo y las funciones trigonométricas, o, que EXCEL comete algún error.

Este detalle no me dio más preocupación hasta que tuve que realizar una serie de cálculos de ingeniería para estimar la caída de presión en una válvula proporcional. Nuevamente los resultados empezaron a discrepar, arrojándome valores hasta con cuatro dígitos de diferencia. En esta oportunidad no había funciones trigonométricas y si se quiere, las fórmulas eran relativamente sencillas. Sin embargo descubrí que si la hoja de EXCEL realiza por parte (celdas diferentes) las ecuaciones los resultados individuales de las celdas coincide con los valores obtenidos con la calculadora de bolsillo, un comportamiento más desconcertante aún.

Para mí es imperdonable este tipo de “error”, no puede estar presente ni ser permitido en ningún tipo de programa que alarde (nada económico por cierto) ser una “herramienta” de apoyo para la realización de cálculos. Los errores cometidos por la hoja de cálculo pueden ser tan significativos que podrían ser la causa del fracaso de un trabajo de ingeniería sin pensar en los estragos que representarían en la administración de una pequeña o mediana empresa que se apoye en este software para “aligerar” los cálculos.

Este descubrimiento es lamentable y genera una gran desconfianza en este programa tan ampliamente utilizado.

No me queda más remedio de ahora en adelante verificar con mi económica calculadora de bolsillo todas las operaciones matemáticas que de alguna manera comprometan mis actividades laborales……

TRAZANDO EL ANALEMA

TRAZANDO EL ANALEMA.

Mecánica del Analema, su desarrollo analítico, su trazado y su interpretación.

Cuando investigamos sobre los relojes Solares surge una y otra vez la palabra analema como un artilugio para “corregir” la Hora Solar con respecto a la Hora Legal, lo que se busca es la concordancia entre la hora de los relojes “mecánicos” con la hora indicada por los relojes de Sol.

Ya vimos en el artículo Hora Legal, Hora Solar cual es el origen de la discrepancia entre la Hora Legal y la hora dada por los relojes de Sol.

El Analema no es un fenómeno natural como tal ya que se hace manifiesto únicamente al comparar la posición del Sol día a día a la misma Hora Legal, hora que no es natural sino una invención por necesidad del hombre.

El Analema es una figura geométrica con forma que recuerda al número ocho (8) y es generada por la combinación de dos movimientos oscilatorios perpendiculares entre sí, uno producto de la Ecuación del Tiempo que se realiza en el eje Este-Oeste y el otro por la declinación del Sol que ocurre en el eje Norte-Sur, el resultado es una figura de Lissajous.

Una manera rápida de visualizar gráficamente el Analema es aprovechando la función de la hoja de cálculos EXCEL para la realización de gráficos, como valores de “X” y “Y” colocamos los indicados en la tabla de la Ecuación del Tiempo y los mostrados en la tabla de la declinación del Sol, ambos en grados, aunque podemos hacer la combinación grados-minutos. Como EXCEL ajusta automáticamente la escala para los ejes de coordenadas, la gráfica que muestra está distorsionada desarrollando un analema bastante abombado y no estilizado como es en realidad. Esta distorsión del Analema no nos permite sobreponerla al cuadrante solar. Sin embargo, cabe la posibilidad de explorar los cambios que sufre la figura ajustando las escalas de los ejes de coordenadas para obtener una imagen más aproximada a la que veríamos en el cielo si fotografiáramos la posición del Sol varios días a lo largo del año. La imagen siguiente muestra el Analema desarrollado en EXCEL con la escala automática.

Sobre esta figura podemos colocar algunos puntos importantes o de interés, como la línea de los equinoccios y la de los solsticios, la línea del meridiano, los días en que la Ecuación del tiempo es cero y cuando es la máxima entre otras cosas.

Para el trazado del Analema sobre el cuadrante Solar tenemos que partir de la posición del Sol en el firmamento y de la proyección de la sombra del nomon sobre el cuadrante solar.

El Analema se puede realizar para cualquier hora, pero el que nos ocupa lo trazaremos solamente para el mediodía con el fin de determinar el atraso o adelanto del Sol Verdadero con respecto al Sol Medio justo al mediodía Legal, es decir, la Ecuación del Tiempo.

Para trazar el Analema necesitamos establecer dos referencias importantes:

1- Longitud de la sombra.

2- Acimut de la sombra.

Estos parámetros son en realidad las coordenadas polares que establecen la posición de los puntos sobre el cuadrante Solar que nos permitirán dibujar el analema.

LONGITUD DE LA SOMBRA.

La longitud de la sombra es una función de la altura del nomon que utilicemos y de la altura del Sol sobre el horizonte.

La altura del Sol es a su vez una función trigonométrica (trigonometría esférica) de la declinación del Sol, de la latitud del lugar donde está el nomon y del ángulo horario tal como se expuso en el artículo correspondiente al Reloj de Sol Azimutal.

La fórmula que nos permite determinar la altura “a” del astro Rey en el firmamento es la siguiente:

Sen (a) = Sen (l) x Sen (d) + Cos (l) x Cos (d) x Cos (H)

Donde:

a = Altura del Sol sobre el horizonte en grados.
l = Latitud del lugar en grados.
d = Declinación del Sol en grados.
H = Ángulo horario medido con respecto al meridiano del lugar en grados.

La declinación del Sol la obtendremos de la tabla siguiente.

Hay que tener en cuenta que la altura del Sol dada por la fórmula se mide viendo hacia al Polo Sur o al Polo Norte. El Sol llega al cenit cuando la declinación del mismo tome el valor de la latitud del lugar. A partir de este punto se debe considerar lo siguiente:

Para los que estamos dentro del Trópico de Cáncer, cuando la declinación del Sol es negativa, la altura se toma mirando al Sur, esta orientación se mantiene hasta que el Sol alcance el Cenit. Para los días consecutivos, la altura se mide mirando al Norte.

El ángulo horario es una función de la Hora Legal, de la hora por diferencia de longitud entre el meridiano del lugar donde se trazará el analemma y del huso horario optado en el país, y de la Ecuación del Tiempo.

Para nuestro caso, el ángulo horario es el desplazamiento angular del Sol con respecto al meridiano del lugar y esto define la Hora Solar (Hs), la Hora Solar puede calcularse por medio de la fórmula siguiente:

Hs = HL + DL + ET

Donde:

Hs = Hora Solar.
HL = Hora Legal referida al UTC adoptado. Para Venezuela es el -4:30.
DL = Hora por diferencia de longitud geográfica.
ET = Ecuación del Tiempo.

La diferencia de longitud geográfica “DL” queda establecida como la diferencia angular expresada en tiempo entre el meridiano del lugar “ML” y el UTC.

DL = ML – UTC

Cuando la diferencia por longitud es negativa, el meridiano del lugar está atrasado con respecto al UTC y si la diferencia por longitud es positiva, nos indica que el meridiano del lugar está adelantado al UTC, de manera que el Sol llega primero al meridiano del lugar antes de llegar al UTC.

En el caso de Puerto Ordaz, el meridiano del lugar donde estará el analemma es el -62°:27’ y el UTC para el País es el -4:30, que expresado en grados es -67°:30’. La diferencia da 5°:3’, que en tiempo se corresponde con 20’:12”. Como el valor es positivo, me indica que Puerto Ordaz tiene la Hora Solar adelantada con respecto a la Hora Legal en 20’:12”.

Cabe recordar que hoy por hoy tenemos a mano recursos tecnológicos que hace un par de décadas atrás estaban reservados a asociaciones o institutos científicos y/o tecnológicos, algunos de estos recursos son los computadores y el Internet. Con este par de “herramientas” podemos conocer nuestra latitud y nuestra longitud de manera muy exacta y basta con acceder al Google Earth y ubicar en el mundo donde colocaremos nuestros relojes de Sol. Con ayuda de esta tecnología es que he determinado mi ubicación geográfica.

La ecuación del tiempo queda definida por:

ET = Sm – Sv

Donde “Sm” es la ascensión recta del Sol Medio y “Sv” es la del Sol Verdadero, la Ecuación del Tiempo “ET” toma valores negativos o positivos según la ascensión recta del Sol Verdadero es mayor o menor que la ascensión recta del Sol Medio, es decir, el Sol Verdadero se “adelanta” al Sol Medio o se “atrasa”, reflejándose un atraso o un adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Solar Media. Por ejemplo, si para el 1ro de Octubre la Ecuación del Tiempo tiene como valor +10’:04”, el Sol Verdadero está atrasado (menor ascensión recta) con respecto al Sol Medio y para efecto de la hora diurna, este valor de “ET” se corresponde a un adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Legal en esa cantidad con su respectivo signo, así que para el meridiano UTC, al mediodía el reloj de Sol se adelanta en 10’:04” a la Hora Legal.

De aquí que la Ecuación del Tiempo se puede expresar también de la manera siguiente:

ET = Hs – HL

Donde “HL” es la Hora Legal y “Hs” la Hora Solar.

Para nuestros cálculos, los cuales se harán para los medios días legales, el ángulo correspondiente a las 12 PM legales es cero, HL = 0, de manera que la ecuación para determinar el ángulo horario del Sol a las 12 PM legal queda reducida a:

Hs = DL + ET

La tabla siguiente nos da la Ecuación del Tiempo para cada día del año expresada en grados.

La longitud de la sombra queda definida por la siguiente expresión de trigonometría plana:

Ls = AG ÷ Tg (a)

Donde:

Ls = Longitud de la sombra.
AG = Altura del nomon.
a = Altura del Sol en grados.

La altura del nomon la definimos de acuerdo al tamaño de la proyección que deseemos, para los efectos de este proyecto el nomo tendrá por altura 100 mm.

ACIMUT DE LA SOMBRA.

El ángulo azimut es una función de la altura del Sol, del ángulo horario, de la declinación del Sol y de la latitud del lugar de observación y puede calcularse por medio de:

Cos (Z) = (Sen (l) x Sen (a) – Sen (d)) ÷ (Cos (l) x Cos (a))

Donde:

Z = Ángulo azimut medido desde la meridiana mirando al Sur y positivo hacia el Este.
l = Longitud del lugar.
d = Declinación del Sol para el día en cuestión.
a = Altura del Sol para el día y hora en cuestión.

Determinando la longitud de la sombra y el ángulo azimut por ejemplo, para cada mediodía de los días 1, 12, 21 y 30 de cada mes, obtendremos la tabla siguiente.

Los resultados de la longitud de la sombra se consiguieron para una altura de nomon (AG) de 100 mm. Cabe aclarar, que el ángulo acimut calculado es la posición del Sol en el firmamento y que nosotros estamos trabajando con la proyección de la sombra del nomon, de manera que al acimut calculado tenemos que sumarle 180° para que nos de la dirección y sentido de la sombra. Estos son los valores de acimut mostrados por la hoja de cálculo anterior.

EL ANALEMA.

Para el trazado del Analema ya se dispone de las coordenadas polares de los puntos correspondientes a los días 1, 12, 21 y 30 de cada mes, en donde la longitud de la sombra es el radio vector y el azimut el ángulo. Con la ayuda de regla y transportador o mejor aún empleando un programa de diseño asistido con computador podemos colocar los puntos sobre un papel de acuerdo a las coordenadas polares encontradas. Evidentemente, la curva estará mejor definida y exacta en la medida que se utilicen más puntos (días) para su trazado.

La figura siguiente muestra el trazado de la “sombra” del nomon correspondiente a los meses de Enero y Diciembre sobre el plano horizontal.

Una vez realizado el trazado de todas las “sombras” sobre el papel, unimos sus extremos libres en el mismo orden en que se colocaron las líneas que representan a las sombras del nomon y con esto conseguimos la figura del Analema.

La imagen siguiente muestra el Analema como envolvente de las líneas de “sombras”.

La figura siguiente es la misma imagen pero sin las líneas de “sombras”, el resultado es una imagen fantástica y evocativa, simple y hermosa que parece guardar un secreto.

La línea segmentada “N-S” representa la meridiana del lugar (Norte-Sur) donde se trazó el Analema y se puede observar fácilmente que la curva está desplazada hacia “E” (Este) debido a que la Ciudad de Puerto Ordaz (Ciudad Guayana) está adelantada (al Este) con respecto al meridiano de referencia -4:30 optado por el País para fijar la Hora Legal. El corrimiento del eje del Analema con respecto a la línea “N-S” se corresponde con los 20’:12’’ de adelanto que tiene Puerto Ordaz con respecto al UTC; como puede observarse, el Analema no intercepta a la línea meridional “N-S” lo que implica que la Hora Solar y la Hora Legal jamás coincidirán para esta ubicación geográfica.

Sobre esta curva podemos colocar algunos datos de interés como se mencionó al inicio del artículo. Los solsticios, los equinoccios, el afelio y perihelio, y los valores de adelanto de la Hora Solar con respecto a la Hora Legal en minutos entre otros datos.

La figura nos muestra el Analema con parte de la información adicional.

En el dibujo se puede apreciar que el momento más cercano entre la Hora Solar y la Hora Legal es en el mes de febrero, cerca del día 12 con una diferencia de 5,9 minutos y el momento de máxima disparidad para comienzos de Noviembre con 36,7 minutos de adelanto entre la Hora Solar y la Legal.

La imagen siguiente muestra el Analema superpuesto al cuadrante Solar del reloj Azimutal.

La serie de fotogramas siguientes nos muestran el Analema para un nomon de 100 mm de altura de forma piramidal.

La primera fotografía muestra el momento de “alinear” el eje Norte-Sur del Analema trazado. En una entrada futura se expondrá un método práctico y sencillo para la orientación de los relojes de Sol.

El nomon colocado en el cuadrante horizontal. La sombra nos indica que ya pasó el mediodía Solar como puede apreciarse en la fotografía siguiente.

Momento en que son las 12:00 del mediodía Legal.

La fotografía nos da un detalle de la sombra del nomon sobre el Analema, obsérvese que prácticamente la punta de la sombra del nomon está sobre el punto que representa el día 21, el Solsticio de Verano (el símbolo zodiacal es Cáncer). Las fotos se realizaron a la víspera del solsticio, el día 20 de Junio.

La fotografía siguiente nos muestra la figura del Analema sobre el cuadrante solar del reloj Azimutal.

En esta foto se puede observar la Hora Legal indicada por el reloj del celular y la Hora Solar dada por el reloj Azimutal. El mediodía Legal se lee en el Analema justo cuando la sombra del nomon hace contacto con la figura en el mes correspondiente, además se puede ver claramente la diferencia entre ambas horas, estando adelantado el reloj Solar. El adelanto es aproximadamente de 18 minutos para el momento de la fotografía, dato que no indiqué por omisión sobre el Analema dibujado en el cuadrante Solar.

Con este artículo he pretendido aclarar lo del Analema, su origen, su trazado sobre un cuadrante Solar y como leerlo para establecer la diferencia entre la Hora Solar y la Hora Legal.

Junio 2010.

Nota a modo de fe de errata: En las imágenes y fotos del Analema terminado está colado un “error de imprenta”. Este error es la colocación indebida de los símbolos que marcan los solsticios, de manera que el símbolo de Cáncer está en el lugar que le corresponde al de Capricornio y viceversa.