EL RELOJ DE SOL BIFILAR

EL RELOJ DE SOL BIFILAR
Construyendo relojes de Sol.

Diseñado por el profesor de matemática Hugo Michnik (Alemania) y publicado en abril del año de 1.922, el reloj de Sol Bifilar tiene la interesante variante con respecto a los demás relojes de Sol que la hora está indicada por el cruce de las sombras de dos alambres (nomon) independientes o varas dispuestas horizontalmente, perpendiculares entre si y paralelas al cuadrante Solar que es del tipo horizontal.

Aunque el diseño original posee el cuadrante Solar horizontal y las varillas perpendiculares entre sí y alineadas con los puntos cardinales, el mismo puede ser desarrollado para cualquier inclinación del cuadrante Solar y disposición de las varas indicadoras de las horas.

Desafortunadamente, no existe mayor información sobre el inventor y no podremos brindarle un mejor homenaje por su invención.

Unas de las cualidades sorprendentes del reloj de Sol Bifilar, es la posibilidad de desarrollar el trazado de las horas de manera que estas queden equiangulares en el plano horizontal, es decir, separadas una de las otras por 15º, de la misma manera como en el reloj de Sol de Cuadrante Ecuatorial. Recordemos que los ángulos horarios del reloj de Cuadrante Azimutal Horizontal ni en el reloj de Sol de Cuadrante Horizontal ya desarrollados no están distribuidos radialmente de manera uniforme, de allí la facilidad de construcción del Cuadrante Solar del reloj Bifilar.

En esta publicación trataremos de desarrollar un reloj de Sol Bifilar de Cuadrante Horizontal y como punto de partida emplearemos la información de base previamente calculada para el desarrollo del reloj de Sol Azimutal de cuadrante Horizontal realizado en una entrega anterior.

Una propiedad que hace del reloj de Sol Bifilar particularmente interesante es que de acuerdo a la separación vertical entre las varillas se logran conseguir diferentes patrones radiales para mostrar las horas sobre el Cuadrante Solar, siendo el más atractivo aquella disposición de las varas que nos permitan obtener un patrón radial de las horas repartidas uniformemente alrededor de un centro y que el ángulo de separación entre hora y hora sea de 15º, separación horaria idéntica a la del Sol en su marcha diurna por el firmamento.

Para entender el funcionamiento de este reloj empecemos por recordar el principio de funcionamiento del reloj de Sol Azimutal, pues en esencia lo que se trata de determinar el la longitud de la sombra proyectada en función del ángulo que forma el Sol con respecto a la horizontal y su dirección que queda determinada por el ángulo que forma el Sol con respecto al meridiano.

Un nomon vertical de longitud “AG” es iluminado por el Sol “S” (Figura 1), proyectando sobre el suelo con una longitud “L” la sombra del nomon, la cual que depende de la altura “a” del Sol “S” sobre el horizonte, orientada con un azimut “Z” en dirección al polo Sur.

La altura del Sol es una función de la hora local donde se encuentra el nomon, de la latitud del lugar y de la declinación del Sol según el día en que se este realizando la observación.

Teniendo a mano los parámetros mencionados, la altura “a” del Sol la podemos encontrar resolviendo la siguiente ecuación de trigonometría esférica empleada para el desarrollo del reloj de Sol Azimutal:

Sen (a) = sen (L) x sen (d) + cos (L) x cos (d) x cos (H)

FIGURA 1

Donde:

l= Latitud del lugar expresado en grados.
d= Declinación del Sol para el día en que se está determinando la altura Solar.
H= El ángulo horario expresado en grados y contados a partir del mediodía.
a= El ángulo de la altura del Sol con respecto al horizonte expresado en grados.

El ángulo azimut del Sol es una función de la declinación del Sol para el momento de su medición, de la altura del Sol sobre el horizonte y del ángulo horario (hora) y podemos calcularlo resolviendo la ecuación de trigonometría esférica siguiente:

Cos Z = [Sen(l) x Sen(a) – Sen(d)] ÷ (Cos(l) x Cos(a))

Donde “d”, “a” y “l” tienen el mismo significado de la fórmula anterior y “Z” es el ángulo azimutal del Sol para ese instante.

La longitud de la sombra se determina resolviendo la ecuación trigonométrica siguiente:

L = AG ÷ Tan(a)

Donde:

L = Longitud de la Sombra.
AG = Longitud del nomon.
a = altura del Sol en grados.

La hora en los relojes Acimutales queda entonces definida por la longitud de la sombra y el ángulo azimut del Sol.

FIGURA 2

Si colocamos una varilla horizontal alineada con el eje Norte-Sur con altura “Hn”, su sombra de la misma manera que la sombra del nomon vertical es proyectada por los rayos Solares de acuerdo a la altura del Sol y de su azimut tal como podemos apreciarlo en la figura 2. La sombra del punto “V” de la varilla se proyecta en el plano horizontal en el punto “W” a una longitud “L” (L = Hn ÷ Tan(a)) partiendo del punto “P” de la línea “V-P” perpendicular al plano horizontal y con ángulo “Z” que es el azimut del Sol. El resultado es la proyección de la sombra de la varilla en el plano horizontal y paralela a la línea Norte-Sur (La varilla es paralela a la línea Norte-Sur en el plano vertical) desplazada en una distancia “X” del eje Norte-Sur.

Para determinar la distancia “X” a la cual se encuentra la sombra de la varilla con respecto a la línea Norte-Sur, tenemos que realizar los mismos cálculos que hicimos para determinar la longitud de la sombra del nomon vertical, en este caso encontraremos la longitud “L” de la línea “P-W”; la longitud de la línea “P-W” es la requerida para los cálculos. Una vez encontrado este valor “L” podemos hallar el valor de “X” de acuerdo al ángulo azimut del Sol “Z” empleando trigonometría plana.

X = L x Sen (Z)

Si la varilla horizontal la giramos 90º de manera que la misma quede paralela a la línea Este-Oeste la Sombra de la misma se proyecta desplazada en un valor “Y” de la línea Este-Oeste como lo muestra la figura 3.

Los cálculos de “a”, “L” y “Z” para este caso son idénticos al anterior, solo cambia la dirección de la varilla. Determinada la longitud “L” del segmento de línea “P-W” para cualquier punto de la varilla, podemos calcular el valor del desplazamiento “Y” con respecto a la referencia Este-Oeste en función del azimut “Z”.

Y = L x Cos (Z)

La longitud “L” para la varilla orientada Este-Oeste se determina por: L = Hs ÷ Tan (a).

FIGURA 3

La figura 4 nos muestra el caso de dos puntos alineados con la vertical pero separados a cierta distancia.

FIGURA 4

Los dos puntos son proyectados en el plano horizontal siguiendo trayectorias paralelas de acuerdo a la altura “a” del Sol, de manera que la proyección (sombra) de los mismos quedan sobre la línea “P-Q” manteniendo el azimut “Z”. Si el punto inferior (G) se desplaza hacia abajo, su sombra (en azul) se acerca a la intersección de la línea vertical con el cruce de las líneas Norte-Sur y Este-Oeste en el punto “P”, aumentando la distancia “L” entre ambas sombras (disminuye el valor de Y). Si el punto “G” sube, la distancia entre las proyecciones disminuye y cuando ambos puntos están a la misma altura, sólo se tendrá una proyección en el mismo lugar que la proyección colorada del punto superior “J” y tendremos el mismo caso del nomon vertical del reloj Azimutal.

Este punto es bueno aclararlo, por que en el reloj Bifilar las varillas están separadas unas de otras como los puntos de la figura 4 y la separación vertical entre ellas define el patrón del trazado de las horas en el Cuadrante Solar.

La figura 5 nos muestra el caso en que están las dos varillas superpuestas, perpendiculares y alienadas con los puntos cardinales, las líneas Norte-Sur y Este-Oeste.

FIGURA 5

La varilla superior (Verde) alineada con el eje “Norte-Sur” está a una altura “Hn” (P-J) del plano horizontal. La luz del Sol proyecta la sombra de esta varilla paralela al eje Norte-Sur y desplazada una distancia “X” tal como lo mostró la figura 2. La varilla inferior (Azul) es perpendicular a la superior y está a una altura “Hs” (P-G) del plano horizontal y su sombra está corrida una distancia “Y” de la línea Este-Oeste como se mostró en la figura 3. Ambas sombras se cruzan en el punto “O” (Figura 5). Si vemos con detenimiento, observaremos que la intersección de las sombras no está sobre la línea de proyección “P-Q” aunque la proyección de los puntos “J” y “G” que están alineados con la vertical pasando por el punto “P” si se proyectan sobre la línea de proyección “P-Q”.

El punto “O” queda entonces definido por las distancias “X” y “Y” en el plano horizontal.

Podemos considerar que en el plano horizontal tenemos un sistema de coordenadas cartesianas en donde el punto “P” es el origen, el eje de las abscisas es la línea Este-Oeste y el eje de las Ordenadas es la línea Norte-Sur.

El punto “P” del plano horizontal es la proyección vertical de los puntos “J” y “G”, es decir, si miramos desde la arriba verticalmente al plano horizontal a las dos varillas, estas se interceptan aparentemente en el punto “P” del plano horizontal y las varillas lo hacen sobre las líneas Norte-Sur y Este-Oeste y es por esta particularidad que podemos imaginarnos el sistema de coordenadas cartesianas en el plano horizontal. La línea vertical formada por los puntos “J”, “G” y “P” es notable y la utilizaremos como referencia para determinar los punto “X” y “Y” del punto “O” sobre nuestro plano cartesiano. El punto “O” es el indicador de la hora Solar del reloj de Sol Bifilar.

Para una hora determinada del día, el punto “O” se encuentra separado del eje Norte-Sur por el valor X1 y del eje Este-Oeste por Y1, lo que implica que este punto “O” tiene por coordenadas (X1,Y1). Al cabo de un tiempo, las sombras se han desplazado copiando en el plano horizontal el desplazamiento del Sol en el firmamento, trasladándose la intersección del punto O al punto O’, el cual queda definido sobre el plano cartesiano por las coordenadas (X2,Y2), tal como lo muestra la figura 6.

FIGURA 6

Podemos suponer que el punto “O” forma parte de una línea recta (verde) que no tiene que pasar necesariamente por el origen “P” de las coordenadas y definida por la ecuación general de las rectas:

Y1 = K1 x X1 + b

En donde “K1” es la pendiente de la recta y “b” el punto en donde esta recta corta al eje de las ordenadas (Norte-Sur) como lo ilustra la figura 7.

FIGURA 7

La pendiente “K1” de la recta está asociada con el ángulo horario, el cual se cuenta a partir del mediodía, que para nuestro plano cartesiano corresponde al eje de las ordenadas Norte-Sur. De manera que la pendiente de la recta toma la expresión:

K1 = Tan (90 - h1)

Pero Tan (90-h1) es igual a CoTan (h1) que a su vez es:

K1 = 1 ÷ Tan (h1)

En donde “h1” es el ángulo horario expresado en grados. Para aclarar, a la 1:00 PM, el ángulo “h1” tendría el valor de 15º, para las 2:00 PM “h1”valdría 30º y así sucesivamente, pero medido con respecto a la línea Norte-Sur, mientras que el ángulo de la pendiente se determina a partir el eje Este-Oeste.

Aplicando el mismo razonamiento, el punto O’ también formaría parte de una recta (en azul) que tendría en común con la anterior el punto de intersección con el eje Norte-Sur, es decir el punto “b” con el fin de obtener una distribución radial de las horas, la posición de O’ está definida por el tiempo “h2”. El ángulo barrido de “h1” a “h2” debe ser de 15º en una hora, ya que estamos buscando una distribución regular del tiempo en el cuadrante Horizontal del reloj Bifilar. Explico, nos interesa que la separación entre recta y recta sea de 15º para obtener un patrón equiangular de las horas en el cuadrante horizontal, por ello las rectas que construyamos tienen que estar relacionadas con el ángulo de 15º por cada hora transcurrida.

La ecuación general para la segunda recta es:

Y2 = K2 x X2 + b

Su pendiente se puede determinar por:

K2 = Tan (90 – h2)

Que es igual a:

K2 = 1 ÷ Tan (h2)

Recordemos por otro lado, que el valor de “X” se encontraba con la expresión

X = L x Sen (Z)

Y “L” por:

L = Hn ÷ Tan(a)

El valor de “Y” se obtiene a partir de:

Y = L x Cos (Z)

Siendo “L” para la varilla Este-Oeste:

L = Hs ÷ Tan(a)

Sustituyendo para la ecuación de la primera línea tenemos:

X1 = Hn x Sen (Z1) ÷ Tan (a1)
Y1 = Hs x Cos (Z1) ÷ Tan (a1)
K1 = 1 ÷ Tan (h1)

Hs x Cos (Z1) ÷ Tan (a1) = Hn x Sen (Z1) ÷ [Tan (a1) x Tan (h1)] + b … (1)

Para la segunda línea:

X2 = Hn x Sen (Z2) ÷ Tan (a2)
Y2 = Hs x Cos (Z2) ÷ Tan (a2)
K2 = 1 ÷ Tan (h2)

Hs x Cos (Z2) ÷ Tan (a2) = Hn x Sen (Z2) ÷ [Tan (a2) x Tan (h2)] + b … (2)

Sin olvidar que: “Z1” y “a1” son el azimut del Sol y la altura del mismo para la hora “h1”… y … “Z2” y “a2” son el azimut y la altura del Sol para la hora “h2”. “Hn” es para ambos casos la altura de la varilla orientada según Norte-Sur y “Hs” la altura en que se encuentra la varilla orientada Este-Oeste.

Si nos fijamos bien, lo que tenemos es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, el valor de “b” y el valor de “Hs”. Escogemos “Hs” como elemento variable que nos permita obtener las horas separadas regularmente en el cuadrante del reloj por medio del ajuste del valor de “Y”. Con el valor de “Hn” que será fijo, determinaremos el tamaño del cuadrante.

Si restamos la ecuación (1) a la ecuación (2) para eliminar “b” obtenemos:

Encontrado el valor de “Hs” o altura de la varilla Este-Oeste indicadora de la hora podemos hallar el valor de “b”, para ello basta con introducir el valor de “Hs” en cualquiera de las ecuaciones anteriores y despejar “b”.


Para reforzar realicemos un cálculo con los datos siguientes:

Hn = 100 mm (Altura de la varilla Norte-Sur)
d = -4,22º (Declinación del Sol para el 1/10/09)
L = 8,27º (Latitud para el reloj de Sol, Puerto Ordaz, Venezuela)
h1 = 15º (11 AM)
h2 = 30º (10 AM)

Calculamos la altura “a” del Sol empleando la formula expuesta al inicio del post.

a1 = 70,511º.
a2 = 57,579º

Hallamos el azimut para cada hora.

Z1 = 50,685º
Z2 = 68,446º

Ahora podemos hallar Hs.

Hs = 14,3 mm (Redondeando)
b = -99 mm (Redondeando)

Como en el caso del reloj Azimutal, podemos simplificar los cálculos recurriendo al empleo de una hoja de cálculo para verificar que se cumplen los valores de “b”, “Hs” y “Hn” para cualquier hora y día del año, sacando las 12 M y las 6 AM y PM por ser casos particulares.

FIGURA 10

Con el valor de “Hn” podemos tener una idea del tamaño de nuestro cuadrante, calculando el valor de “X” para las 7 AM y 5 PM, pues si hacemos los cálculos para las 6 AM nos da un valor negativo y no tiene sentido.

Para encontrar el largo máximo del cuadrante, el cálculo lo hacemos para el primer día de Enero, que el Sol está prácticamente en su máxima declinación hacia el Sur con un valor de -23,01º, son los días con las sombras más alargadas y para Junio las sombras más cortas para el caso de esta latitud de 8,27º. En el cono Sur se invierten los valores.

El valor más grande de “X” con una altura de la varilla Norte-Sur de 100 mm, que corresponde a Enero es de 495 mm. El valor de “Y” nos permite determinar el ancho de nuestro reloj, que de acuerdo a los cálculos de la figura 10 es de unos 51 mm. Esta estrechez se debe a lo próximo que estamos a la línea Ecuatorial y lo cerca al cuadrante en que están las varillas indicadoras.

Con el valor de “b” y de la longitud del cuadrante, podemos hacer la plantilla para el cuadrante Solar del reloj de Sol Bifilar, jugando con la dirección de la proyección de las sombras de manera que la sombra de los soportes no oculte la intercepción de las sombras de las varillas indicadoras de la hora. Por esta razón, el soporte de varilla “N-S” no debe estar sobre el punto de convergencia (b) de las líneas indicadoras de las horas del cuadrante.

Por comodidad, utilicé un programa de diseño por computador, pero esta actividad la podemos hacer con un poco de paciencia con lápiz, regla y compas.
Debido a la longitud de mis varillas indicadoras (390 mm) el cuadrante Solar queda confinado a un cuadrado de 450 mm por 450 mm con el fin de que los soportes de las varillas queden sobre el cuadrante. La figura 11 muestra el aspecto de la plantilla.

FIGURA 11

Debemos tomar la precaución de indicar sobre el cuadrante Solar la posición de las bases de los soportes de las varillas indicadoras para garantizar durante el armado del reloj que las mismas queden en la posición correcta. En la figura 11, las marcas en forma de cruz indican el lugar de los soportes para las varillas.

Aunque en las tiendas especializadas con materiales para la realización de maquetas podemos encontrar varillas metálicas o de material sintético del diámetro que queramos y de buena longitud, para el reloj que estamos realizando utilizaremos como varillas indicadoras el alambre de un par de ganchos de ropa como lo muestra la figura siguiente.

FIGURA 12

El alambre a utilizar lo picamos con un alicate o alguna cizalla del gancho y corresponde a la parte recta por donde se cuelgan “los pantalones”, este tiene un diámetro de 2,2 mm con una longitud de 390 mm como lo muestra la figura 13.

Evidentemente estos alambres no estarán perfectamente rectos, pero utilizaremos los más rectos que encontremos o/y tratando de enderezarlos lo mejor que podamos. La falta de rectitud induce errores en la indicación del tiempo.

FIGURA 13

Como nota aclaratoria, los alambres que se utilicen no deben ser muy largos para impedir que se curven por su propio peso ya que esto produciría un error de construcción en el reloj.

Las bases al igual que el cuadrante de este reloj las haremos a partir de cartón de construcción de 2 mm de espesor y deben tener la forma adecuada para que el alambre se sostenga por si sólo y se centre, la mejor solución es hacerlas de manera que la zona de contacto o de apoyo del alambre sea triangular como lo muestra la figura 14.

FIGURA 14

Con respecto a la altura del soporte, debemos considerar que los cálculos se hacen para el eje de la varilla sin considerarse el diámetro de la misma. No tomarse en cuenta este detalle se estaría introduciendo otro pequeño factor que influiría sobre la indicación de la hora, no obstante podemos omitir este detalle si nuestro alambre es delgado como el empleado de 2 mm o tomarlo en cuenta si nos gustan los desarrollos geométricos para determinar la “V” de apoyo para el alambre en función de la altura Hn y/o Hs.

La figura 15 muestra el plano para la plantilla que emplearé para el soporte del alambre “N-S” y altura 100 mm (medido desde el centro del diámetro del alambre), en este caso el ángulo escogido para la “V” del soporte es de 45º, aunque puede ser cualquier ángulo y el ancho de base es de 30 mm y arriba en los picos de la “V” 10 mm.

FIGURA 15

La figura 16 corresponde al plano para la plantilla del soporte de la varilla “E-O” con altura de de varilla de 14,4 mm.

FIGURA 16

La asimetría tan marcada entre ambos soportes se debe a la latitud del lugar, que para este diseño es 8,27º N.
El aspecto esperado del reloj Bifilar proyectado una vez ensamblado está mostrado en la figura 17.

FIGURA 17

Las fotografías siguientes nos muestran la realización práctica del reloj de Sol Bifilar.

Plantilla del cuadrante Solar.

Pegando la plantilla del cuadrante Solar sobre el cartón base de 2 mm de espesor.


Cortando el excedente de cartón.


Plantillas de los soportes pegados al cartón base de 2mm.


Soportes recortados.




Colocando los soportes de las varillas sobre el cuadrante. Obsérvese que los soportes van sobre la “cruz” indicadora.


Aspecto del reloj Bifilar armado.


Con el reloj ya armado, salimos a un lugar despejado y lo orientamos adecuadamente.

Hora Solar 8:30 AM


Obsérvese que la hora queda indicada por el cruce de las sombras, 8:30 AM (Hora Solar).


Reloj Bifilar y reloj Polar.


Podemos apreciar que nuestro reloj Solar funciona a la perfección y era lo esperado de acuerdo al estudio teórico realizado más arriba.

Los análisis realizados por el profesor Hugo Michnik simplifican las fórmulas empleadas en este blog, de manera que la separación entre las varillas para obtener una graduación regular de las horas en el cuadrante Solar cumple con la fórmula Hs = Hn x Sen(L) y la distancia “b” con la ecuación b = Hn x Cos(L). Si comparamos los resultados obtenidos para Hs y b, veremos que son los mismos de acuerdo a las fórmulas simplificadas.

Con esta realización, hemos desvelado el “secreto” del reloj de Sol Bifilar al mismo tiempo que nos muestra la ingeniosidad del hombre por explorar todas las posibilidades para cada una de sus invenciones técnicas, no limitándose a un solo diseño o modelo de artefacto sino buscando y agotando todas sus posibilidades. En realidad se trata de un acto de perseverancia, de inquietud, de curiosidad y de invención que es lo que ha permitido al Ser Humano llegar al desarrollo actual de la técnica, la tecnología y de la ciencia.

Puerto Ordaz Diciembre 2.009