FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –I-

FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –I-

Construyendo relojes de Sol.

A lo largo de las entregas realizadas en este blog, hemos diseñado y trazado las cuatro variantes más comunes de cuadrantes de los relojes de sol. Estos cuadrantes “principales” son:

Cuadrante ecuatorial.

Cuadrante horizontal.

Cuadrante vertical.

Cuadrante vertical declinante.

A partir de los diseños de los cuatro cuadrantes principales junto con su desarrollo trigonométrico podemos intentar obtener una fórmula general que nos permita determinar el ángulo horario para un cuadrante plano dispuesto en cualquier posición intermedia a los cuatro cuadrantes principales.

Queda claro que el cuadrante Ecuatorial es el más sencillo de todos, ya que estando paralelo al ecuador celeste el ángulo horario “α” trazado sobre el cuadrante a partir del origen del gnomón es de 15° angulares por cada hora transcurrida, de manera que entre hora y hora hay una separación angular de 15°.

La figura siguiente nos muestra los tres planos básicos de los cuadrantes solares, el Ecuatorial, el Horizontal y el Vertical.

FIGURA 1

El ángulo “γ” y el ángulo “β” son la proyección del ángulo horario “α” del cuadrante Ecuatorial sobre el plano vertical y sobre el plano horizontal respectivamente.

A partir de la figura 1 podemos determinar la siguiente relación trigonométrica para determinar el ángulo horario “β” del plano horizontal.

AB/OA = Tg(β)

AB/AD’ = Tg(α)

De ambas expresiones se obtiene:

Tg(β)  = AD’xTg(α)/OA

Pero AD’/OA = Sen(ι) que sustituyendo en la expresión anterior:

Tg(β)  = Sen(ι)xTg(α)

También empleando un razonamiento similar podemos determinar la relación trigonométrica entre el ángulo “α” y el ángulo “γ” del plano vertical.

DA/AB = Tg(γ)

AB/AD’ = Tg(α)

Tg(α) = Tg(γ)xAD/AD’

Donde: AD/AD’ = 1/Cos(ι)

Sustituyendo la expresión queda:

Tg(γ) = Cos(ι)xTg(α)

Observando los resultados y analizando un poco la figura 1 y la figura 2 se puede determinar la siguiente fórmula general para hallar el ángulo horario “γ” para cualquier inclinación del cuadrante Solar.

FIGURA 2

Tg(γ) = Cos(ι+θ)xTg(α)

El ángulo “θ” es la inclinación del cuadrante que se mide a partir de la vertical (cenit) que pasa por el meridiano. “θ” es positivo si el ángulo está hacia el polo elevado y negativo si el cuadrante esta inclinada hacia el polo depreso. Entendiendo como polo elevado el que está sobre el horizonte y el depreso el que no es visible.

Si el ángulo “θ” toma el valor de

:

θ = 0° è Tg(γ) = Cos(ι)xTg(α) Cuadrante Vertical.

θ = ι° è Tg(γ) = Tg(α) Cuadrante Ecuatorial.

θ = 90° ó -90° è Tg(β)  = Sen(ι) xTg(α) Cuadrante Horizontal.

La figura 3 nos muestra el caso particular de un cuadrante Vertical pero declinante.

FIGURA 3

Con el apoyo de esta figura se puede determinar la fórmula que determina el ángulo horario “δ” del plano declinante tomando en cuenta al ángulo de declinación “f”.

Tg(γ) = AB/AD’ y AB = AD + DB

AD/AC = Cos(f) y DB/CB = Sen(β)

Sustituyendo:

Tg(γ) = ACxCos(f)/AD’ + CBxSen(β)/AD’

Pero AC/AD’ = Tg(δ)

Sustituyendo:

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xCB/AD’

Por otro lado: Cos(β) = CD/CB y Sen(f) = CD/AC

De las dos expresiones: CB = ACxSen(f)/Cos(β) y con esta:

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xAC/(AD’xCos(β)); con Tg(δ) = AC/AD’

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xTg(δ)/Cos(β)

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Tg(β)xSen(f)x Tg(δ)

Factor común:

Tg(γ) = Tg(δ)x[Cos(f) + Tg(β)xSen(f)]

Finalmente:

                      Cos(ι)xTg(α)

Tg(δ) = --------------------------------

              [Cos(f) + Sen(f)xTg(β)]

Efectuando un análisis parecido al anterior pero para la otra mitad de la pared (a partir de la línea vertical) la expresión queda:

                      Cos(ι)xTg(α)

Tg(δ) = --------------------------------

              [Cos(f) - Sen(f)xTg(β)]

Como se puede observar ambas fórmulas son casi idénticas, variando solamente el signo “+” o el “-” según el lado de la pared donde se hace la proyección. Como regla nemotécnica, el signo “+” del denominador se corresponde para la mitad de la pared a partir de la línea vertical (AD’) que está más cerca del observador y el “-” para el lado más alejado. Tomando en cuenta que esto es válido sólo para un observador que ve hacia el polo elevado y el nomon es paralelo al eje del mundo.

Considerando también que Tg(β)  = Sen(ι)xTg(α), la expresión anterior queda:

                          Cos(ι)xTg(α)

Tg(δ) = -----------------------------------------

              [Cos(f) ± Sen(f)x Sen(ι)xTg(α)]

Esta última expresión es la que nos permite determinar el ángulo horario “δ” sobre el cuadrante vertical declinante en función del ángulo horario ecuatorial “α”, la latitud “ι” del lugar y del azimut gnomónico “f” o ángulo declinante del cuadrante solar.

La figura 4 muestra el caso en que el polo elevado sea el Polo Norte, el lado más (+) cerca al observador es el hombro izquierdo, la pared posee declinación hacia el Este.

FIGURA 4

Ahora trataremos el caso general que es el tema final de esta entrada. Pero antes de continuar con el desarrollo trigonométrico hay que definir cuales son los planos de referencia sobre los cuales se efectúan las mediciones de los ángulos de declinación y de inclinación del cuadrante solar.

La figura 5 nos muestra un cuadrante solar declinante e inclinado mostrando los ángulos principales.

FIGURA 5

El eje de rotación del cuadrante para formar el ángulo de declinación “f” es la línea vertical que parte del punto medio de la arista del cuadrante que está en el suelo (punto “A” de la figura 5), este ángulo de declinación “f” es el azimut del cuadrante (pared o muro). A este ángulo lo denominan también azimut gnomónico.

Llamaremos como INCLINACIÓN GNOMÓNICA del cuadrante al ángulo “θ” contenido en el plano vertical (OKGO) que forma el meridiano del lugar. Desde el punto de vista práctico la inclinación del cuadrante se mide por el ángulo “χ”, medido en el plano vertical formado por los puntos “HKGIH” que es perpendicular al cuadrante donde se trazaran las líneas horarias del reloj de Sol, a esta inclinación la denominaremos INCLINACIÓN NORMAL.

Con el apoyo de la figura 5 podemos encontrar la relación entre la inclinación nomónica “θ” (que es la inclinación real del muro a efectos de los cuadrantes para relojes de Sol) y la inclinación normal “χ” del cuadrante y la declinación (azimut) “f”. De aquí:

Tg(χ) = HK/KG

Tg(θ) = AK/KG

KG = AK/ Tg(θ) è Tg(θ) x HK7AK = Tg(χ); pero Cos(f) = HK/AK

Finalmente:

Tg(χ) = Cos(f) x Tg(θ)

Esta última expresión nos muestra que la inclinación normal (χ) del cuadrante está relacionada con la declinación (f) y la inclinación gnomónica (θ).

Si observamos bien la figura 5, veremos que la línea “AG” que es la intersección del plano definido por el nomon vertical “OKGO” con el plano (en azul) del cuadrante, está inclinada con respecto a la línea “HG” formando el ángulo “ω”. La línea “HG” nace en el punto “G” origen del nomon y recorre al cuadrante hasta el punto “H” perpendicular al plano horizontal.  La figura 6 nos muestra una visualización perpendicular al cuadrante.

FIGURA 6

Desde esta perspectiva se visualiza claramente que la línea “AG” está inclinada con respecto a la línea “HG” del cuadrante que es perpendicular a la horizontal “AH”.

Cabe destacar, que la línea “AG” se corresponde con el plano meridional, de manera que la sombra del gnomón justo al mediodía solar estaría sobre esta línea, lo que implica, que el cuadrante horario (líneas horarias) estaría “girado” por decirlo así en el ángulo “ω”.

A partir de la figura 5 se puede deducir la fórmula que nos relaciona el ángulo de “giro” “ω” con la declinación gnomónica del cuadrante “f” y su inclinación gnomónica “θ”.

Sen(f) = AH/AK

Sen(ω) = AH/AG

AH = AG x Sen(f)

Sen(f) = Sen(ω) x AG/AK, pero Sen(θ) = AK/AG

Finalmente:

Sen(ω) = Sen(f) x Sen(θ)

La figura 7 nos muestra el caso general del cuadrante declinante e inclinado en donde se observan los planos principales (ecuatorial, vertical declinante y declinante inclinado) y sus ángulos asociados necesarios para el desarrollo trigonométrico.

FIGURA 7

El ángulo “γ” es el ángulo horario para el cuadrante declinante inclinado y de la figura 7 se deduce:

Tg(γ + ω) = HC/HG; pero HC = HA+AC

Tg(γ + ω) = HA/HG + AC/HG; y Tg(ω) = HA/HG

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + AC/HG

Tg(δ) = AC/AE. El ángulo “δ” es el ángulo horario del cuadrante vertical declinante. AC = AExTg(δ). Sustituyendo:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x AE/HG; por otro lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ )  x  FA/[HG x Cos(ι)]

Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x Cos(ω), de aquí:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ )/[Cos(ι) x Cos(ω)] x FA/AG; con Cos(ι+ θ) = FA/AG. Queda:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι) x Cos(ω)]

Si sustituimos Tg(δ) por la expresión que fue deducida en el análisis del cuadrante vertical declínate, la fórmula anterior finalmente queda:

                                                           Cos(ι+ θ) x Tg(α)

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + ^{________________________________________________________}

                                    Cos(ω) x [Cos(f) + Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

En donde:

γ = Ángulo horario del cuadrante declínate inclinado.

ω = Ángulo de giro del cuadrante horario o de las líneas horarias.

ι = Latitud del lugar.

θ = Ángulo de inclinación gnomónica del cuadrante.

f = Ángulo declinante o de azimut gnomónico.

α = Ángulo horario en el cuadrante Ecuatorial. 15° = 1 hora.

Está fórmula nos permite calcular el ángulo horario “γ” para el lado de la pared que está más próxima al observador, de acuerdo a la regla indicada al final del desarrollo de la ecuación para el caso del cuadrante Vertical Declinante.

La figura 8 nos muestra el ángulo horario “γ” para el lado de la pared que se aleja del observador.

FIGURA 8

De la figura se deduce:

Tg(γ- ω) = HD/HG; pero HD = AD - HA

Tg(γ- ω) = AD/HG - HA/HG; pero Tg(ω) = HA/HG

Tg(γ- ω) = AD/HG - Tg(ω)

Por otro lado, Tg(δ) = AD/AE. El ángulo “δ” es el ángulo horario del cuadrante vertical declinante. AD = AExTg(δ). Sustituyendo:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x AE/HG -Tg(ω); por otro lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x  FA/[HG x Cos(ι)] - Tg(ω)

Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x Cos(ω), de aquí:

Tg(γ - ω) = Tg(δ ) x  FA/[AG x Cos(ι) x Cos(ω)] - Tg(ω); con Cos(ι+ θ) = FA/AG. Queda:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι) x Cos(ω)] - Tg(ω)

Y sustituyendo Tg(δ) por su ecuación nos queda:

                                          Cos(ι+ θ) x Tg(α)

Tg(γ - ω) = ^{_________________________________________________________} -Tg(ω)

                        Cos(ω) x [Cos(f) - Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

Si observamos las ecuaciones veremos que son iguales, cambiando el signo según el lado de la pared que está más (+) cerca del observador o menos (-) cerca a partir de la línea de unión del plano vertical del nomon con el cuadrante inclinado-declinante. Con lo que la ecuación quedaría:

Cos(ι+ θ) x Tg(α)

Tg(γ ± ω) = ^{_________________________________________________________} ±Tg(ω)

Cos(ω) x [Cos(f) ± Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

Esta última formula es la ecuación general trigonométrica para determinar los ángulos horarios de cualquier cuadrante plano.

Recordemos que el trazado de las líneas horarias parten de la vertical definida por el plano meridional, es decir los cero grados son las 12 del mediodía y que para el cuadrante declinante inclinado, la línea de las 12 (los cero grados para el trazado de las líneas horarias) está aparentemente ladeada o girada de la vertical en el ángulo “ω”. El sentido de la rotación de las líneas horarias es el mismo del azimut.

Podemos hacer una comprobación rápida de la fórmula, veamos el caso de un cuadrante ecuatorial. Como no hay declinación el ángulo ω = 0. Como la inclinación es la latitud θ = ι, al colocar estos valores en la ecuación general nos queda: Tg(γ) =  Tg(α) y esta es la fórmula para los relojes ecuatoriales.

En la entrada siguiente se elaborará una maqueta de reloj de Sol de cuadrante inclinado y declinante como ejercicio para verificar la fórmula general encontrada.

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