ÁNGULO ESTILAR Y ÁNGULO SUBESTILAR.

ORIENTACIÓN DEL GNOMON.

Construyendo relojes de Sol.

El gnomon, también denominado estilete debido a su similitud con una pluma puede ser considerado como el eje del cuadrante solar alrededor del cual el Sol giraría de la misma manera que lo hace aparentemente alrededor del eje del mundo; para que esta particularidad se cumpla es obligatorio que el estilete esté paralelo al eje de rotación de la tierra, de esta manera en la medida que el Sol realiza su deambular diario por el firmamento la sombra del estilete nos revela la hora solar, los solsticios, los equinoccios, las cónicas y otros secretos de la geometría y el universo.

El gnomon, aunque es un objeto simple, ha jugado un papel importante en el desarrollo de la humanidad. Por ejemplo, gracias a las observaciones realizadas por Erastótenes (S. III A.C.) a la sombra de un gnomon colocado en el suelo y en dos lugares diferentes sobre el mismo meridiano le permitió calcular con extraordinaria exactitud el diámetro de la tierra, siendo este uno de los grandes conquistas obtenidos por la astronomía para la geografía.

Es de esperarse que el estilete esté perpendicular al cuadrante solar y esto es válido sólo para aquellos denominados cuadrantes ecuatoriales y para el caso de los cuadrantes  horizontales cuando el indicador de la hora es la punta de la sombra de un estilete vertical. En cambio, en los cuadrantes verticales y particularmente en aquellos (caso general) que son declinantes, el estilete toma un giro con un ángulo de inclinación que hace muy difícil la colocación del mismo sobre el cuadrante solar.

Eventualmente y por facilidad de construcción e instalación, el estilete es sustituido por un gnomon en forma de triangulo rectángulo, que perpendicular al cuadrante solar declinante debe cumplir con la única condición que la hipotenusa del triángulo tome el mismo lugar donde estaría el estilete. Este tipo de construcción triangular al ser instalado sobre el cuadrante solar forma un ángulo con respecto a la línea vertical o de las doce, apareciendo ahora dos nuevos parámetros muy empleados en gnomónica cuando se habla de relojes de Sol de cuadrante vertical declinante.

Este par de parámetros se denominan ángulo subestilar y ángulo estilar. Este último denominado también “altura del estilete”.

La figura 1 representa la fachada de una edificación sobre la cual está colocado el gnomon triangular perpendicular a la misma.

FIGURA 1

Apoyándonos en la figura 1 se pueden visualizar las definiciones exactas de los nuevos parámetros arriba mencionados, de manera que:

Ángulo estilar o altura del gnomon: Es el ángulo que forma la hipotenusa del gnomon triangular (AOBA) con respecto a la proyección normal de la misma (línea O-B) sobre el cuadrante solar o también, es el ángulo formado entre el estilete y su proyección ortogonal al cuadrante solar.

La línea O-A que genera la proyección del estilete sobre el cuadrante se denomina “línea subestilar”. Esta línea subestilar coincide con el cateto adyacente del gnomon triangular.

Ángulo subestilar: Es el ángulo que se forma entre la línea de las doce (línea vertical) y la línea subestilar.

Evidentemente que el ángulo estilar como el subestilar están interrelacionados con la latitud geográfica y la declinación (acimut) del cuadrante solar y para la construcción y colocación del gnomon triangular sobre el cuadrante es necesario conocer de antemano este par de ángulos, de allí la importancia de encontrar la relación trigonométrica que las une.

Para establecer la relación que existe entre el ángulo subestimar y el ángulo estilar con la latitud del lugar y la declinación de la pared vertical o cuadrante solar nos apoyaremos en la figura 2.

FIGURA 2

Sea el plano BHGOB en cuadrante solar declinante o la pared donde se colocaría el reloj de Sol, el plano BECOB está perpendicular al cuadrante solar BHGOB. La línea A-B representa la hipotenusa del triangulo rectángulo BADB (color rojo) el cual está perpendicular al cuadrante solar (BHGOB), la hipotenusa A-B está colocada justo en el sitio que le correspondería a la varilla o estilete del reloj de Sol; es decir paralela al eje del mundo. Este triángulo rectángulo BADB es el gnomon triangular que sustituiría al estilete.

El triángulo rectángulo OABO está en el plano meridional del lugar y el ángulo “d” formado entre el triángulo OABO y el plano BECOB perpendicular al cuadrante es la “declinación del muro o del cuadrante solar”. Al mismo tiempo, el ángulo “l” (OAB) que se forma entre la hipotenusa del gnomon triangular y el plano horizontal OCFGO es la latitud del lugar; recordemos que la línea A-B es paralela al eje del mundo y por ende el ángulo que se forma entre la línea A-B y el plano horizontal es la latitud geográfica del lugar donde se encuentra el reloj de Sol.

El ángulo “a” que se forma entre la línea B-D (línea subestilar) del gnomon con forma de triangulo rectángulo (color rojo) y la línea vertical B-O es el ángulo subestilar mientras que el ángulo “b” que se forma entre la hipotenusa A-B y la línea subestilar B-D es el denominado ángulo estilar.

El ángulo “l” que se forma entre la línea O-A que está en el plano horizontal y la línea A-B que es la hipotenusa del gnomon. Este ángulo “l” es la latitud del lugar.

El ángulo “d” formado entre la línea O-C que está contenida en el plano BECOB perpendicular al cuadrante solar y la línea O-A del plano horizontal es la declinación del muro o del cuadrante solar.

De la figura 2 se deduce:

Cos(b) = BD/AB; y Cos(l) = AO/AB. De esta última expresión: AB = AO/Cos(l).

Sustituyendo AB en la primera expresión:

Cos(l)xBD/AO = Cos(b). Por otro lado, OD/BD = Sen(a), despejando BD del primer término y sustituyendo en el segundo:

[ODxCos(l)]/[AOxSen(a)] = Cos(b).

Pero OD/AO = Cos(e).

El ángulo “e” es el complementario del ángulo “d”: e = (90º-d).

De aquí que:

Cos(e) = Cos(90º-d) = Sen(d) y sustituyendo nos queda finalmente:

Sen(d)xCos(l) = Sen(a)xCos(b)…….[1].

Por otro lado; AD/AB = Sen(b) y OB/AB = Sen(l). Despejando AB del segundo término y sustituyendo en el primero:

[ADxSen(l)]/OB = sen(b) y OB/BD = Cos(a), despejando OB de la segunda formula y sustituyendo OB en la primera queda:

[ADxSen(l)]/[BDxCos(a)] = Sen(b).

AD/BD = Tan(b), con lo que la expresión anterior queda:

[Tan(b)xSen(l)]/Cos(a) = Sen(b). Esta última expresión queda simplificada:

Cos(b) = Sen(l)/Cos(a). Sustituyendo este Cos(b) en la ecuación [1], la misma queda:

Sen(d)xCos(l) = Sen(a)xSen(l)/Cos(a); Sen(a)/Cos(a) = Tan(a), sustituyendo y reordenando nos queda la segunda fórmula:

Tan(a) = Sen(d)/Tan(l)……[2].

Esta última expresión nos permite determinar el ángulo subestilar para el gnomon en forma de triangulo a partir de la latitud y de la declinación.

Nos falta ahora determinar la relación entre la latitud y la declinación con el ángulo estilar.

AD/AB = Sen(b) y AD/AO = Sen(e), de esta última AD = AOxSen(e), que sustituyendo en la primera expresión:

Sen(b) = OAxSen(e)/AB, pero OA/AB = Cos(l); con lo que: Sen(b) = Cos(l)xSen(e).

Pero Sen(e) = Sen(90º-d) = Cos(d). Con este último cambio:

Sen(b) = Cos(l)xCos(d)……[3].

Esta última expresión nos permite determinar el ángulo estilar a partir de la latitud y de la declinación del cuadrante solar.

En conclusión las relaciones que nos permite predeterminar tanto el ángulo estilar como el subestilar en función de la latitud geográfica y de la declinación del muro o cuadrante son:

Tan(a) = Sen(d)/Tan(l).

Sen(b) = Cos(l)xCos(d).

Donde:

a = ángulo subestimar.

b = ángulo estilar.

d = declinación del cuadrante solar.

l = latitud geográfica del lugar.

El ángulo estilar nos permite construir el gnomon triangular para nuestro reloj solar vertical de cuadrante declinante y el subestilar orientarlo adecuadamente……

Con este pequeño desarrollo analítico obtuvimos las fórmulas necesarias para orientar y colocar fácilmente un gnomon triangular sobre un cuadrante vertical declinante.